Prove que:
(u times v) times(w times z)=[(u times v) cdot z] w-[(u times v) cdot w] z

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que para quaisquer vetores u,v,w,z vale a identidade
(utimesv)times(wtimesz) = [(utimesv)cdotz]w - [(utimesv)cdotw]z
O conteúdo aqui é a identidade do produto vetorial triplo (também chamada de identidade de Lagrange).

Passo 2

Apresentamos a identidade de Lagrange para três vetores a,b,c:
atimes(btimesc) = b,(acdotc) - c,(acdotb)
Essa fórmula decorre da definição de produto vetorial e produto escalar, e é amplamente usada em álgebra vetorial.

Passo 3

Fazemos a substituição
a = utimesv, b = w, c = z
na identidade de Lagrange. Assim,
(utimesv)times(wtimesz) = w,[(utimesv)cdotz] - z,[(utimesv)cdotw]

Passo 4

Comparando com o que tínhamos de demonstrar, vemos que a expressão obtida coincide exatamente com a do enunciado. Portanto, a identidade está provada.

Resposta

(utimesv)times(wtimesz) = [(utimesv)cdotz]w - [(utimesv)cdotw]z

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