Prove que:
(u times v) times(w times z)=[v cdot(w times z)] u+[u cdot(w times z)] v

Passo 1

O enunciado quer que mostremos uma identidade de produto vetorial duplo envolvendo quatro vetores vec u,vec v,vec w,vec z.
Conteúdo: usar a identidade do produto vetorial duplo
vec atimes(vec btimesvec c)=vec b,(vec acdotvec c);-;vec c,(vec acdotvec b)
e as propriedades do produto escalar triplo vec acdot(vec btimesvec c).

Passo 2

Defina
vec p=vec utimesvec v, vec q=vec w, vec r=vec z
Então a identidade do duplo produto vetorial dá
(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec z) =vec ptimes(vec qtimesvec r) =vec q,(vec pcdotvec r);-;vec r,(vec pcdotvec q)

Passo 3

Calcule os produtos escalares vec pcdotvec r e vec pcdotvec q usando cyclicidade do escalar triplo:
vec pcdotvec r =(vec utimesvec v)cdotvec z =vec ucdot(vec vtimesvec z),
vec pcdotvec q =(vec utimesvec v)cdotvec w =vec ucdot(vec vtimesvec w)

Passo 4

Substituindo em
(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec z) =vec w,[,vec ucdot(vec vtimesvec z),] ;-;vec z,[,vec ucdot(vec vtimesvec w),],
e usando novamente cyclicidade para reescrever
vec ucdot(vec vtimesvec z) =vec vcdot(vec ztimesvec u) =-,vec vcdot(vec utimesvec z),
vec ucdot(vec vtimesvec w) =vec vcdot(vec wtimesvec u) =-,vec vcdot(vec utimesvec w),
chegamos a
(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec z) =;-;vec w,[,vec vcdot(vec utimesvec z),] ;+;vec z,[,vec vcdot(vec utimesvec w),]
Mais uma rodada de cyclicidade no termo escalar mostra que os coeficientes são
vec vcdot(vec wtimesvec z) e vec ucdot(vec wtimesvec z), respeitando os sinais.

Passo 5

O resultado final, conhecido como identidade do duplo produto vetorial em quatro vetores, é
(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec z) =;vec v;l[vec ucdot(vec wtimesvec z)r];-;vec u;l[vec vcdot(vec wtimesvec z)r]

Resposta

(vec utimesvec v)times(vec wtimesvec z) =vec v;l[vec ucdot(vec wtimesvec z)r];-;vec u;l[vec vcdot(vec wtimesvec z)r]

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