Usando as regras da álgebra de bras e kets, prove ou calcule os seguinte resultados:
(b) (X Y)^{\dagger}=Y^{\dagger} X^{\dagger}, onde X e Y são operadores.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer operadores X e Y num espaço de Hilbert, vale
(XY)^{\dagger} \;=\; Y^{\dagger}\,X^{\dagger}.
O conteúdo principal é a definição de adjunto (ou Hermitian conjugate) de um operador A, que satisfaz, para todos os kets \lvert\varphi\rangle e \lvert\psi\rangle:
\langle \varphi \lvert A \rvert \psi \rangle \;=\; \langle A^{\dagger}\,\varphi \lvert \psi \rangle.

Passo 2

Começamos escrevendo o produto interno envolvendo XY:
\langle \varphi \lvert X\,Y \rvert \psi \rangle.
Aplicando a definição de adjunto ao operador X (tratando Y\lvert\psi\rangle como um ket genérico), temos
\langle \varphi \lvert X\bigl(Y\lvert\psi\rangle\bigr) \rangle \;=\; \langle X^{\dagger}\,\varphi \,\lvert\, Y \,\lvert\psi\rangle \rangle \;\equiv\; \langle X^{\dagger}\varphi \lvert Y \rvert \psi \rangle.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de adjunto ao operador Y sobre o ket Y\lvert\psi\rangle:
\langle X^{\dagger}\varphi \lvert Y \rvert \psi \rangle \;=\; \langle Y^{\dagger}\bigl(X^{\dagger}\varphi\bigr)\,\lvert\,\psi\rangle \;\equiv\; \langle Y^{\dagger}X^{\dagger}\varphi \lvert \psi \rangle.

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores, obtemos
\langle \varphi \lvert X\,Y \rvert \psi \rangle = \langle Y^{\dagger}X^{\dagger}\varphi \lvert \psi \rangle.
Por definição de adjunto, o operador que satisfaz
\langle \varphi \lvert XY \rvert \psi \rangle = \langle (XY)^{\dagger}\varphi \lvert \psi \rangle
deve coincidir com Y^{\dagger}X^{\dagger}. Como isso vale para todo \lvert\varphi\rangle e \lvert\psi\rangle, segue que
(XY)^{\dagger} = Y^{\dagger}X^{\dagger}.

Resposta

(XY)^{\dagger} = Y^{\dagger}X^{\dagger}.

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