Prove que
admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
Temos a função
definida em todo
. Queremos mostrar que existe pelo menos um
tal que
. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que diz que toda função contínua que troca de sinal em dois pontos tem pelo menos uma raiz entre eles.
Passo 2
Como
é um polinômio de grau 3, ela é contínua em todo
. Além disso, pelo comportamento de polinômios de grau ímpar,
ou seja,
assume valores arbitrariamente negativos e positivos.
Passo 3
Escolhemos dois pontos em que
tem sinais opostos. Por exemplo,
Logo
e
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Resposta
A função
admite pelo menos uma raiz real em algum ponto
.