Prove que f(x)=x^3+2 x+2 admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3+2x+2 definida em todo R. Queremos mostrar que existe pelo menos um cinR tal que f(c)=0. O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário, que diz que toda função contínua que troca de sinal em dois pontos tem pelo menos uma raiz entre eles.

Passo 2

Como f é um polinômio de grau 3, ela é contínua em todo R. Além disso, pelo comportamento de polinômios de grau ímpar,
limxto -inftyf(x)=-infty e limxto +inftyf(x)=+infty,
ou seja, f assume valores arbitrariamente negativos e positivos.

Passo 3

Escolhemos dois pontos em que f tem sinais opostos. Por exemplo,
f(-1)=(-1)^3+2(-1)+2=-1-2+2=-1<0,
f(0)=0^3+2cdot0+2=2>0
Logo f(-1)<0 e f(0)>0.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(-1,0) tal que
f(c)=0

Resposta

A função f(x)=x^3+2x+2 admite pelo menos uma raiz real em algum ponto cin(-1,0).

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