Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo zinC, vale
|z|^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2
Para isso vamos usar as definições de parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de um número complexo.

Passo 2

Escrevendo
z = x + i,y,
onde definimos x = Re(z) e y = Im(z).

Passo 3

Pela definição de módulo de um número complexo, temos
|z| = raizz,z
e, portanto,
|z|^2 = z,z

Passo 4

O conjugado de z é
z = x - i,y
Logo,
z,z = (x + i,y),(x - i,y) = x^2 - i,x,y + i,x,y - i^2y^2 = x^2 + y^2

Resposta

|z|^2 = x^2 + y^2 = Re(z)^2 + Im(z)^2

Exercícios relacionados