Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|Re(z)| <=|z|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo zinC, vale
|Re(z)|<= |z|
Estamos trabalhando com números complexos, cujo módulo e parte real devem satisfazer essa desigualdade.

Passo 2

Escrevemos z na forma usual:
z = x + iy,
onde x = Re(z) e y = Im(z). Então
|Re(z)| = |x|

Passo 3

Pelo fato de y^2>=0, temos
x^2 <= x^2 + y^2
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (observando que ambas as quantidades são não negativas), obtemos
|x| <= raizx^2 + y^2
Mas raizx^2 + y^2 é justamente o módulo de z, isto é, |z|.

Resposta

Portanto,
|Re(z)| = |x| <= raizx^2+y^2 = |z|,
como era para provar.

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