Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale
Isso envolve os conceitos de parte imaginária de um número complexo e de módulo de número complexo.
Passo 2
Escrevemos
em sua forma usual
onde
e
. Por definição temos
Passo 3
Observe que
é sempre não negativo, ou seja,
Logo,
Passo 4
Como
e
são números não negativos, podemos aplicar a raiz quadrada preservando a desigualdade:
Resposta
Para todo
vale