Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|Im(z)| <=|z|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo zinC, vale
|Im(z)| <= |z|
Isso envolve os conceitos de parte imaginária de um número complexo e de módulo de número complexo.

Passo 2

Escrevemos z em sua forma usual
z = x + i,y,
onde x = Re(z) e y = Im(z). Por definição temos
Im(z) = y e |z| = raizx^2 + y^2

Passo 3

Observe que x^2 é sempre não negativo, ou seja,
x^2 >= 0 ;Longrightarrow; x^2 + y^2 ;>=; y^2
Logo,
|z|^2 = x^2 + y^2 ;>=; y^2 = l(Im(z)r)^2

Passo 4

Como |z|^2 e l(Im(z)r)^2 são números não negativos, podemos aplicar a raiz quadrada preservando a desigualdade:
|z| = raiz|z|^2 ;>=; raizl(Im(z)r)^2 = |Im(z)|

Resposta

Para todo zinC vale
|Im(z)| <= |z|

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