Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede para provar, para quaisquer
, as desigualdades
O conteúdo principal aqui é a desigualdade triangular em
e suas consequências imediatas (usando
ou manipulando a forma triangular).
Passo 2
Provar a desigualdade superior para a soma:
Para isso, note que
Como
Re(zoverline w)<= |zoverline w|=|z|,|w| , segue
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtém-se
Passo 3
Provar a desigualdade superior para a diferença:
Basta aplicar o caso anterior a
z e
-w :
Passo 4
Agora a desigualdade inferior para a soma:
Começamos por reescrever
e aplicar a desigualdade triangular ao módulo:
Isso dá
Invertendo
z com
w obtemos também
e daí
Passo 5
Por fim, a desigualdade inferior para a diferença:
É análogo ao passo anterior, trocando
w por
-w . Como mostramos que
mas
|-w|=|w| e
z+(-w)=z-w , segue
Resposta
Ficou demonstrado que, para todos
z,winC , vale