Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
||z|-|w|| <=|z pm w| <=|z|+|w||

Passo 1

O enunciado pede para provar, para quaisquer z,winC, as desigualdades
||z|-|w|| ,<=, |zpm w| ,<=, |z|+|w|
O conteúdo principal aqui é a desigualdade triangular em C e suas consequências imediatas (usando wmapsto -w ou manipulando a forma triangular).

Passo 2

Provar a desigualdade superior para a soma:
|z+w|<= |z|+|w|
Para isso, note que
|z+w|^2 = (z+w),(z+w) = |z|^2 + |w|^2 + 2Re(zoverline w)
Como Re(zoverline w)<= |zoverline w|=|z|,|w|, segue
|z+w|^2 <= |z|^2 + |w|^2 + 2|z|,|w| = (|z|+|w|)^2
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtém-se
|z+w|<= |z|+|w|

Passo 3

Provar a desigualdade superior para a diferença:
|z-w|<= |z|+|w|
Basta aplicar o caso anterior a z e -w:
|z-w| = |,z + (-w),|<= |z| + |-w| = |z| + |w|

Passo 4

Agora a desigualdade inferior para a soma:
||z|-|w|| <= |z+w|
Começamos por reescrever
z = (z+w) + (-w),
e aplicar a desigualdade triangular ao módulo:
|z| <= |z+w| + |-w| = |z+w| + |w|
Isso dá
|z| - |w| <= |z+w|
Invertendo z com w obtemos também
|w| - |z| <= |z+w|,
e daí
||z|-|w|| <= |z+w|

Passo 5

Por fim, a desigualdade inferior para a diferença:
||z|-|w|| <= |z-w|
É análogo ao passo anterior, trocando w por -w. Como mostramos que
||z|-|(-w)|| <= |,z+(-w),|,
mas |-w|=|w| e z+(-w)=z-w, segue
||z|-|w|| <= |z-w|

Resposta

Ficou demonstrado que, para todos z,winC, vale
||z|-|w|| ,<=, |zpm w| ,<=, |z|+|w|

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