Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de módulo de números complexos
para quaisquer
. Vamos usar a definição de número complexo na forma cartesiana e a definição de módulo:
Passo 2
Escrevemos o produto
em termos de
.
Se e
, então
Se
Passo 3
Calculamos o quadrado do módulo de
usando a definição:
Expandindo,
Somando,
Passo 4
Reconhecemos o lado direito como o produto dos quadrados dos módulos de
e de
:
Logo
Como ambos os lados são não negativos, podemos extrair raiz quadrada para obter