Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|z w|=|z||w|

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de módulo de números complexos
|zw| = |z|,|w|
para quaisquer z,winC. Vamos usar a definição de número complexo na forma cartesiana e a definição de módulo:
se z=a+bi,;w=c+di, então |z|=raiza^2+b^2,;|w|=raizc^2+d^2 ã

Passo 2

Escrevemos o produto zw em termos de a,b,c,d.
Se z=a+bi e w=c+di, então
zw = (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc),i

Passo 3

Calculamos o quadrado do módulo de zw usando a definição:
|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2
Expandindo,
(ac - bd)^2 = a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2,
(ad + bc)^2 = a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2
Somando,
|zw|^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = (a^2 + b^2),(c^2 + d^2)

Passo 4

Reconhecemos o lado direito como o produto dos quadrados dos módulos de z e de w:
(a^2 + b^2),(c^2 + d^2) = |z|^2,|w|^2
Logo
|zw|^2 = |z|^2,|w|^2
Como ambos os lados são não negativos, podemos extrair raiz quadrada para obter
|zw| = |z|,|w|

Resposta

|zw| = |z|,|w|

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