Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
Im(z w)=Re z Im w+Im z Re w

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z,winC, vale a igualdade
Im(zw)=Re z;Im w+Im z;Re w
Para isso vamos usar a forma algébrica dos complexos e a definição de multiplicação em C.

Passo 2

Sejam
z = a + b,i, w = c + d,i,
onde a=Re z, b=Im z, c=Re w e d=Im w.

Passo 3

Multiplicando z por w usando a distributiva e i^2=-1, obtemos
z,w = (a + b,i)(c + d,i) = a c + a,d,i + b,i,c + b,d,i^2 = (a c - b d) + i,(a d + b c)

Passo 4

Pela forma acima, a parte imaginária de z,w é o coeficiente de i, ou seja
Im(zw)=a d + b c
Mas a=Re z, b=Im z, c=Re w e d=Im w, então
Im(zw)=Re z;Im w + Im z;Re w,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

A igualdade Im(zw)=Re z;Im w+Im z;Re w está provada.

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