Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
|z|=raizz cdot barz

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z, vale
|z| = raizzcdotz
O que vamos usar é a definição cartesiana de um complexo e de seu módulo: se z = x + i,y com x,yinR, então
|z| = raizx^2 + y^2,
e a definição de conjugado
z = x - i,y

Passo 2

Escrevendo explicitamente z = x + i,y e z = x - i,y, calculamos o produto
z cdot z = (x + i,y),(x - i,y)

Passo 3

Fazendo a multiplicação das duas somas de termos conjugados, temos
(x + i,y),(x - i,y) = x^2 - i,x,y + i,x,y - i^2,y^2 = x^2 + y^2,
pois -i,x,y + i,x,y = 0 e -i^2,y^2 = +y^2.

Passo 4

Portanto
zcdotz = x^2 + y^2 Longrightarrow raizzcdotz = raizx^2 + y^2 = |z|
Isso mostra exatamente a identidade desejada.

Resposta

Como demonstrado, para todo zinC vale
|z| = raizzcdotz

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