Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
z^n=barz^n

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar que, para todo zinC e todo ninN,
z^n=z^,n
Para isso vamos usar a propriedade fundamental da conjugação:
zw=z,w

Passo 2

Caso base ( n=0): como z^0=1 temos z^0=1=1 e claramente z^,0=1. Logo
z^0=z^,0

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum kinN já valha
z^k=z^,k
Então para n=k+1 temos
z^k+1 =z^kcdot z =z^k,z =z^,k,z =z^,k+1

Passo 4

Pelo princípio da indução, concluímos que
boxedz^n=z^,n
vale para todo ninN.

Resposta

z^n=z^,n,forall zinC, forall ninN

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