Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
e todo
com
, vale
O conteúdo é a soma de uma progressão geométrica finita. Vamos usar prova por indução sobre
.
Passo 2
Caso base (
). A soma de
até
é simplesmente
. Por outro lado,
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para certo
,
Queremos mostrar que então
Usando a hipótese indutiva:
Passo 4
Concluímos que, pelo princípio da indução, a fórmula é verdadeira para todo inteiro
e todo
.