Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
1+z+z^2+ldots+z^n-1=1-z^n-11-z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=1 e todo zinC com zneq1, vale
1 + z + z^2 + cdots + z^n-1 ;=;1 - z^n1 - z
O conteúdo é a soma de uma progressão geométrica finita. Vamos usar prova por indução sobre n.

Passo 2

Caso base ( n=1). A soma de k=0 até 0 é simplesmente 1. Por outro lado,
1 - z^11 - z =1 - z1 - z =1
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para certo n>=1,
1 + z + z^2 + cdots + z^n-1 =1 - z^n1 - z
Queremos mostrar que então
1 + z + z^2 + cdots + z^n-1 + z^n =1 - z^n+11 - z
Usando a hipótese indutiva:
1 + z + cdots + z^n-1 + z^n =1 - z^n1 - z + z^n =1 - z^n + z^n(1 - z)1 - z =1 - z^n+11 - z

Passo 4

Concluímos que, pelo princípio da indução, a fórmula é verdadeira para todo inteiro n>=1 e todo zneq1.

Resposta

1 + z + z^2 + cdots + z^n-1 =1 - z^n1 - z

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