Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
Re(z pm w)=Re z pm Re w

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z,winC, vale
Re(z+w)=Re(z)+Re(w) e Re(z-w)=Re(z)-Re(w)
O que precisamos usar é a definição de parte real e a regra de adição e subtração de números complexos.

Passo 2

Seja
z = x + i,y, w = u + i,v,
onde x,y,u,vinR. Pela definição, temos Re(z)=x e Re(w)=u.

Passo 3

Calculamos a soma:
z + w = (x + i,y) + (u + i,v) = (x+u) + i,(y+v)
Logo,
Re(z+w)=x+u =Re(z)+Re(w)

Passo 4

Calculamos a diferença:
z - w = (x + i,y) - (u + i,v) = (x-u) + i,(y-v)
Logo,
Re(z-w)=x-u =Re(z)-Re(w)

Resposta

Está provado que, para todos z,winC, vale
Re(zpm w) =Re(z)pmRe(w)

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