Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
1z=barz|z|^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer zinC com zneq0, sua inversa multiplicativa pode ser escrita em termos do conjugado e do módulo, ou seja,
1z ;=;zlvert zrvert^2
Para isso vamos usar a definição de conjugado, a definição de módulo e a técnica de racionalizar o denominador no contexto de números complexos.

Passo 2

Seja
z = x + i,y,
com x,yinR. Então o conjugado de z é
z = x - i,y
e o quadrado do módulo de z é
lvert zrvert^2 = x^2 + y^2
Ao multiplicar z pelo seu conjugado, obtemos
z,z = (x + i,y)(x - i,y) = x^2 - i,xy + i,xy + (i,y)(-i,y) = x^2 + y^2 = lvert zrvert^2

Passo 3

Para encontrar tfrac1z, basta “racionalizar” o denominador multiplicando numerador e denominador por z,:
1z = 1z cdot zz = zz z = zlvert z rvert^2
Isso elimina a parte imaginária do denominador e expressa a inversa de z em função de seu conjugado e do quadrado do seu módulo.

Resposta

1z ;=;zlvert zrvert^2 para todo zinC,;zneq0

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