Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer
com
, sua inversa multiplicativa pode ser escrita em termos do conjugado e do módulo, ou seja,
Para isso vamos usar a definição de conjugado, a definição de módulo e a técnica de racionalizar o denominador no contexto de números complexos.
Passo 2
Seja
com
. Então o conjugado de
é
e o quadrado do módulo de
é
Ao multiplicar
pelo seu conjugado, obtemos
Passo 3
Para encontrar
, basta “racionalizar” o denominador multiplicando numerador e denominador por
,:
Isso elimina a parte imaginária do denominador e expressa a inversa de
em função de seu conjugado e do quadrado do seu módulo.