Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
Im(z pm w)=Im z pm Im w

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer z,winC, valem
Im(z+w)=Imz+Imw e Im(z-w)=Imz-Imw
O conteúdo aqui é a forma algébrica de números complexos e a definição de parte imaginária.

Passo 2

Escrevemos
z = x + i,y
e
w = u + i,v,
onde x,y,u,vinR. Por definição,
Imz = y e Imw = v

Passo 3

Calculemos z+w:
z+w = (x+u) + i,(y+v)
Pela definição de parte imaginária,
Im(z+w) = y + v = Imz + Imw

Passo 4

Calculemos z-w:
z-w = (x - u) + i,(y - v)
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Im(z-w) = y - v = Imz - Imw

Resposta

As duas identidades ficam demonstradas:
Im(z+w)=Imz+Imw, Im(z-w)=Imz-Imw

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