Prove que as afirmações abaixo são verdadeiras para todos z, w in C :
Im z=12 i(z-barz)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número complexo z, a sua parte imaginária satisfaz a relação
Imz = 12,il(z-overline zr)
O conteúdo que vamos usar é a definição de número complexo em termos de suas partes real e imaginária e as propriedades do conjugado.

Passo 2

Escrevemos o complexo z na forma padrão. Assim, sejam x,yinR tais que
z = x + i,y
Por definição, Imz = y e o conjugado de z é
overline z = x - i,y

Passo 3

Agora calculamos a diferença z - overline z:
z - overline z = (x + i,y) - (x - i,y) = i,y + i,y = 2,i,y

Passo 4

Bastará dividir ambos os lados por 2,i:
12,il(z - overline zr) = 12,il(2,i,yr) = y = Imz
Isso conclui a prova da identidade.

Resposta

Imz = 12,il(z - overline zr)

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