- Represente 5.35 no sistema binário (
) de ponto flutuante com 8 casos na mantissa (
).
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.\n
- Pedem para representar o número
no sistema de ponto flutuante de base com precisão (ou seja, mantissa com dígitos binários de precisão).\n - Informações relevantes: o número é positivo;
; .
Passo 2
Separar parte inteira e parte fracionária e converter a parte inteira para binário.\n
- Parte inteira:
, em binário .\n - Então até agora temos
seguida da parte fracionária em binário (a calcular no próximo passo).
Passo 3
Converter a parte fracionária
para binário por multiplicações sucessivas por
. Vou mostrar cada multiplicação e o bit gerado (a parte inteira do produto):\n
bit
(resto
)\n
bit
(resto
)\n
bit
(resto
)\n
bit
(resto
)\n
bit
(resto
)\n
bit
(resto
)\n
Neste ponto o resto já apareceu antes, portanto a sequência repete ciclicamente. Assim os primeiros bits fracionários são\n
\n
(ou seja, a parte fracionária em binário começa por ).
Neste ponto o resto
(ou seja, a parte fracionária em binário começa por
Passo 4
Juntar parte inteira e fracionária; escrever o número em binário e normalizar.\n
- Juntando:
\n - Normalizar a forma para
: movemos o ponto duas casas para a esquerda, então\n
Explicação rápida: normalizar significa colocar exatamente um dígito não-zero (aqui
) antes do ponto na base 2; o expoente
conta quantas posições movemos o ponto (aqui
).
Passo 5
Interpretar
e escolher quantos bits da mantissa vamos guardar; explicar arredondamento.\n
- Convenção usada:
é o número total de dígitos significativos (bits) na mantissa normalizada, ou seja, contamos o dígito líder . Então guardamos mais bits fracionários (total bits significativos).\n - Regra de arredondamento usada: arredondamento para o mais próximo; se o bit seguinte (guard bit) for
e houver resto, arredonda para cima; se for arredonda para baixo. (Se houver empate usamos o critério “par” ou o que o professor pedir; aqui não há empate exato.)
Passo 6
Extrair os primeiros bits da mantissa, analisar o bit seguinte para arredondar e formar a mantissa com
.\n
- Mantissa normalizada (início):
.\n - Tomamos
bits significativos: isso corresponde a seguido de bits fracionários. Os primeiros bits fracionários são . Logo a mantissa truncada é\n - O próximo bit (o bit de guarda) é o oitavo bit fracionário; olhando a sequência completa, esse bit é
. Como o bit de guarda é (e há rastro de bits não nulos depois), a porção que sobra é menor que metade do incremento — portanto não arredondamos para cima: mantemos .
Passo 7
Escrever a representação final e verificar aproximando de volta para decimal para ver o erro.\n
- Representação final (com
bits significativos) é
- Verificação numérica rápida:
. Multiplicando por dá . A diferença para é , pequeno erro de aproximação decorrente da precisão limitada.