1. Represente 5.35 no sistema binário ( \beta=2 ) de ponto flutuante com 8 casos na mantissa ( t=8 ).

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.\n
  • Pedem para representar o número 5,35 no sistema de ponto flutuante de base \beta=2 com precisão \;t=8\; (ou seja, mantissa com 8 dígitos binários de precisão).\n
  • Informações relevantes: o número é positivo; \beta=2; t=8.

Passo 2

Separar parte inteira e parte fracionária e converter a parte inteira para binário.\n
  • Parte inteira: 5 = 4+1, em binário \;5 = 101_2.\n
  • Então até agora temos 5,35 \approx 101, seguida da parte fracionária em binário (a calcular no próximo passo).

Passo 3

Converter a parte fracionária 0,35 para binário por multiplicações sucessivas por 2. Vou mostrar cada multiplicação e o bit gerado (a parte inteira do produto):\n
\;0{,}35\cdot2=0{,}70 \Rightarrow bit 0 (resto 0{,}70)\n
\;0{,}70\cdot2=1{,}40 \Rightarrow bit 1 (resto 0{,}40)\n
\;0{,}40\cdot2=0{,}80 \Rightarrow bit 0 (resto 0{,}80)\n
\;0{,}80\cdot2=1{,}60 \Rightarrow bit 1 (resto 0{,}60)\n
\;0{,}60\cdot2=1{,}20 \Rightarrow bit 1 (resto 0{,}20)\n
\;0{,}20\cdot2=0{,}40 \Rightarrow bit 0 (resto 0{,}40)\n
Neste ponto o resto 0{,}40 já apareceu antes, portanto a sequência repete ciclicamente. Assim os primeiros bits fracionários são\n
\;0,35_{10} = 0{,}0101100110011\ldots_2\n
(ou seja, a parte fracionária em binário começa por 0\;1\;0\;1\;1\;0\;0\;1\;1\ldots).

Passo 4

Juntar parte inteira e fracionária; escrever o número em binário e normalizar.\n
  • Juntando: \;5{,}35 \approx 101{,}0101100110011\ldots_2.\n
  • Normalizar a forma para 1.\text{(mantissa)}\times2^{e}: movemos o ponto duas casas para a esquerda, então\n 5{,}35 \approx 1{,}010101100110011\ldots_2 \times 2^{2}.
Explicação rápida: normalizar significa colocar exatamente um dígito não-zero (aqui 1) antes do ponto na base 2; o expoente e conta quantas posições movemos o ponto (aqui e=2).

Passo 5

Interpretar t=8 e escolher quantos bits da mantissa vamos guardar; explicar arredondamento.\n
  • Convenção usada: t=8 é o número total de dígitos significativos (bits) na mantissa normalizada, ou seja, contamos o dígito líder 1. Então guardamos 1 mais 7 bits fracionários (total 8 bits significativos).\n
  • Regra de arredondamento usada: arredondamento para o mais próximo; se o bit seguinte (guard bit) for 1 e houver resto, arredonda para cima; se for 0 arredonda para baixo. (Se houver empate usamos o critério “par” ou o que o professor pedir; aqui não há empate exato.)

Passo 6

Extrair os primeiros bits da mantissa, analisar o bit seguinte para arredondar e formar a mantissa com t=8.\n
  • Mantissa normalizada (início): 1{,}010101100110011\ldots_2.\n
  • Tomamos t=8 bits significativos: isso corresponde a 1 seguido de 7 bits fracionários. Os 7 primeiros bits fracionários são \;0,1,0,1,0,1,1\;. Logo a mantissa truncada é\n 1{,}0101011_2.
  • O próximo bit (o bit de guarda) é o oitavo bit fracionário; olhando a sequência completa, esse bit é 0. Como o bit de guarda é 0 (e há rastro de bits não nulos depois), a porção que sobra é menor que metade do incremento — portanto não arredondamos para cima: mantemos 1{,}0101011_2.

Passo 7

Escrever a representação final e verificar aproximando de volta para decimal para ver o erro.\n
  • Representação final (com t=8 bits significativos) é
5{,}35 \approx 1{,}0101011_2 \times 2^{2}.
  • Verificação numérica rápida: 1{,}0101011_2 = 1 + 2^{-2}+2^{-4}+2^{-6}+2^{-7} = 1{,}3359375. Multiplicando por 2^2=4 4\cdot1{,}3359375 = 5{,}34375. A diferença para 5{,}35 é 5{,}35-5{,}34375=0{,}00625, pequeno erro de aproximação decorrente da precisão limitada.

Resposta

5{,}35 \approx 1{,}0101011_2 \times 2^{2}

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