1. Prove que o algoritmo iterativo
y_{k+1}=\arctan \frac{y_{k}}{2}+1

Passo 1

Enunciado (o que temos e o que pedem): temos o processo iterativo
y_{k+1}=\arctan\!\left(\frac{y_k}{2}\right)+1,
ou seja, definimos g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
g(y)=\arctan\!\left(\frac{y}{2}\right)+1.
O que nos pedem (vou assumir a formulação natural dada a um algoritmo iterativo): provar que a sequência (y_k) gerada por y_{k+1}=g(y_k) converge para um ponto fixo de g, isto é, existe \overline{y} tal que
\overline{y}=g(\overline{y})=\arctan\!\left(\frac{\overline{y}}{2}\right)+1,
e que essa convergência é global (para qualquer y_0\in\mathbb{R}) e com uma taxa que podemos estimar. Informação adicional útil que vem do enunciado: a função \arctan tem imagem (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), logo g(\mathbb{R})\subset\left(1-\tfrac{\pi}{2},\,1+\tfrac{\pi}{2}\right). A partir daqui começo a resolver.

Passo 2

Plano de ataque e ideia principal (sem formalidade excessiva): uma maneira padrão de provar que iterações y_{k+1}=g(y_k) convergem é mostrar que g é uma contração (ou seja, que existe L<1 tal que |g(x)-g(y)|\le L|x-y| para todos x,y). Se g for contração em \mathbb{R} (que é um espaço completo), então o Teorema do Ponto Fixo de Banach garante que existe um único ponto fixo \overline{y} e que, para qualquer y_0, a sequência (y_k) converge geometricamente para \overline{y}. Vou explicar por que isso funciona e depois calcular um L<1 para o nosso g.

Passo 3

Lembrete útil (fórmula/teorema usado): se g é diferenciável e g' é limitada por L em um intervalo (ou em \mathbb{R}), então pelo Teorema do Valor Médio temos
|g(x)-g(y)|\le \sup_{t\\ \text{entre}\\ x,y}|g'(t)|\;|x-y|.
Ou seja, um majorante de |g'| é um candidato a constante de Lipschitz. Vou calcular g'(y) e encontrar esse majorante.

Passo 4

Cálculo da derivada (passo a passo, explicando a regra da cadeia): definimos g(y)=\arctan\big(\tfrac{y}{2}\big)+1. A derivada de \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^2}. Aqui u(y)=\tfrac{y}{2} e u'(y)=\tfrac{1}{2}. Aplicando a regra da cadeia,
g'(y)=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{2}\right)^2}\cdot\frac{1}{2}.
Podemos escrever isso de forma um pouco mais organizada:
g'(y)=\frac{1}{2\left(1+\dfrac{y^2}{4}\right)}.

Passo 5

Encontrar um L<1 e concluir que g é contração: observe que 1+\dfrac{y^2}{4}\ge 1 para todo y\in\mathbb{R}, portanto
|g'(y)|=\frac{1}{2\left(1+\dfrac{y^2}{4}\right)}\le \frac{1}{2}.
O máximo absoluto de g'(y) em \mathbb{R} ocorre em y=0, onde g'(0)=\tfrac{1}{2}. Assim podemos escolher L=\tfrac{1}{2} e garantir que, para todos x,y\in\mathbb{R},
|g(x)-g(y)|\le \frac{1}{2}|x-y|.
Portanto g é uma contração global com constante de Lipschitz L=\tfrac{1}{2}<1.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach (explicando de forma intuitiva): como \mathbb{R} é um espaço completo e g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contração com constante L=\tfrac{1}{2}, o Teorema do Ponto Fixo de Banach garante:
  • existe um único ponto fixo \overline{y}\in\mathbb{R} tal que \overline{y}=g(\overline{y})=\arctan\!\left(\tfrac{\overline{y}}{2}\right)+1;
  • para qualquer condição inicial y_0\in\mathbb{R}, a sequência definida por y_{k+1}=g(y_k) converge para \overline{y}.
Intuição do porquê: a desigualdade de contração dá
|y_{k+1}-\overline{y}|=|g(y_k)-g(\overline{y})|\le \frac{1}{2}|y_k-\overline{y}|.
Iterando essa desigualdade obtemos o controle explícito do erro.

Passo 7

Estimativa explícita do erro e da taxa de convergência (útil na prova e na prova prática): a desigualdade do passo anterior, aplicada repetidamente, dá
|y_k-\overline{y}|\le \left(\frac{1}{2}\right)^k |y_0-\overline{y}|.
Isto mostra que a convergência é linear (geométrica) com razão (constante assintótica) no máximo \tfrac{1}{2}. Em particular, após k iterações o erro é reduzido por um fator (1/2)^k em relação ao erro inicial.

Passo 8

Comentários finais didáticos e um exemplo numérico rápido (para intuição): como g(\mathbb{R})\subset(1-\tfrac{\pi}{2},1+\tfrac{\pi}{2}) a sequência fica rapidamente contida nesse intervalo; e pela constante 1/2 já sabemos que poucos passos reduzem bastante o erro. Exemplo: se y_0=0,
y_1=\arctan(0)+1=1,\qquad y_2=\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+1\approx 1+0,4636\approx 1,4636,
e a partir daí os valores se aproximam rapidamente do ponto fixo \overline{y}. (Aqui só fiz uma conta para sentir como a iteração se comporta; a prova acima é geral.)

Resposta

A função g(y)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{2}\right)+1 satisfaz |g'(y)|\le \tfrac{1}{2}<1 para todo y\in\mathbb{R}, logo é uma contração com constante L=\tfrac{1}{2}. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach existe um único ponto fixo \overline{y} tal que \overline{y}=\arctan\!\left(\dfrac{\overline{y}}{2}\right)+1 e, para qualquer y_0\in\mathbb{R}, a sequência definida por y_{k+1}=g(y_k) converge para \overline{y} com erro satisfeito por |y_k-\overline{y}|\le\left(\tfrac{1}{2}\right)^k|y_0-\overline{y}|.

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