1. Represente 6.3 no sistema binário ( \beta=2 ) de ponto flutuante com 8 casos na mantissa ( t=8 ).

Passo 1

O que o enunciado pede: representar o número 6{,}3 no sistema de ponto flutuante de base \beta=2 com t=8 dígitos na mantissa.
Informações dadas: \beta=2 e t=8. Vou assumir o formato normalizado (ou seja, a mantissa tem a forma 1.\text{(bits)}) e o arredondamento padrão “arredonda para o mais próximo” (round-to-nearest). Não há outras instruções no enunciado, então usarei essas convenções.

Passo 2

Separar a parte inteira e a parte fracionária de 6{,}3. Temos parte inteira 6 e parte fracionária 0{,}3. Primeiro converto a parte inteira 6 para binário.
Converter 6 para binário por divisões sucessivas:
6 \div 2 = 3 \text{ resto } 0
3 \div 2 = 1 \text{ resto } 1
1 \div 2 = 0 \text{ resto } 1
Lendo os restos de baixo para cima, 6_{10} = 110_2.

Passo 3

Converter a parte fracionária 0{,}3 para binário usando multiplicações por 2 repetidas. Vou trabalhar com a fração racional exata \tfrac{3}{10} para evitar erros de aproximação.
Fazer as multiplicações:
\frac{3}{10}\cdot 2 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0
\frac{3}{5}\cdot 2 = \frac{6}{5}=1+\frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1
\frac{1}{5}\cdot 2 = \frac{2}{5} \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0
\frac{2}{5}\cdot 2 = \frac{4}{5} \quad\Rightarrow\quad \text{bit }0
\frac{4}{5}\cdot 2 = \frac{8}{5}=1+\frac{3}{5} \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1
\frac{3}{5}\cdot 2 = \frac{6}{5}=1+\frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad \text{bit }1
A partir daqui a sequência de restos repete ( \tfrac{1}{5} reaparece), então os bits se repetem. Os primeiros bits da fracção binária são:
0{,}3_{10} = 0.0100110011\ldots_2
onde a seqüência 010011 (e depois repetição de 0011 conforme visto) se repete.

Passo 4

Juntar parte inteira e parte fracionária em binário:
6{,}3_{10} = 110.0100110011\ldots_2.

Passo 5

Normalizar para a forma \pm 1.\text{(mantissa)} \times 2^{e}. Como o número em binário é 110.010011\ldots_2, deslocamos a vírgula 2 posições para a esquerda:
110.0100110011\ldots_2 = 1.100100110011\ldots_2 \times 2^{2}.
Então a mantissa (significand normalizada) é 1.100100110011\ldots_2 e o expoente é e=2.

Passo 6

Entender t=8: aqui estou adotando a convenção usual de que t é o número total de dígitos da mantissa em base \beta, isto é, a mantissa normalizada tem t dígitos e o primeiro dígito é o 1 obrigatório para números normalizados. Portanto, com t=8 teremos a mantissa com 1 seguido de 7 bits fracionários. Precisamos arredondar a sequência infinita 1.100100110011\ldots_2 para obter exatamente 1.\underbrace{b_1 b_2 \dots b_7}_{7\\ \text{bits}}.

Passo 7

Tomar os primeiros 7 bits fracionários (após o 1.) e o bit seguinte (bit guarda) para decidir o arredondamento. Da mantissa infinita:
frac. após o ponto = 1\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,1\,0\,0\ldots
Os primeiros 7 bits fracionários são:
b_1b_2\ldots b_7 = 1\;0\;0\;1\;0\;0\;1.
O bit seguinte (bit de guarda, que decide arredondar) é 1 (o oitavo bit fracionário), e depois dele existem mais bits não nulos (a sequência continua), então estamos na situação “bit de guarda = 1 e existem bits seguintes = 1”, ou seja, devemos arredondar para cima (round-to-nearest: como há resto > 1/2 do menor incremento, arredonda-se para cima).

Passo 8

Arredondar 1.1001001_2 (mantissa truncada) adicionando 2^{-7} (porque o LSB na mantissa fracionária é 2^{-7}). Fazendo a soma em binário:
bits atuais b_1\ldots b_7 = 1\;0\;0\;1\;0\;0\;1. Somando 0\ldots01 (no LSB):
  • b_7 = 1 + 1 = 0 com carry 1;
  • b_6 = 0 + 1(\text{carry}) = 1 sem carry adicional;
    os outros bits permanecem iguais.
Logo os 7 bits fracionários arredondados ficam:
1\;0\;0\;1\;0\;1\;0.
Assim a mantissa normalizada arredondada é
1.1001010_2.

Passo 9

Reescrever o número ponto-flutuante arredondado com expoente:
6{,}3 \approx 1.1001010_2 \times 2^{2}.
Como verificação, podemos deslocar a vírgula 2 posições para a direita para ver a forma binária usual:
1.1001010_2 \times 2^{2} = 110.01010_2.
Converter 110.01010_2 para decimal:
110_2 = 6,\qquad 0.01010_2 = \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16} = 0{,}25+0{,}0625=0{,}3125.
Portanto o valor arredondado é 6{,}3125, próximo de 6{,}3, o que confirma consistência do arredondamento.

Resposta

6{,}3 \approx 1.1001010_2 \times 2^{2}

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