- Determine equação da parábola mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede a equação da parábola mais próxima ao gráfico de
nesse intervalo.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função a aproximar é
. - O intervalo considerado é
. - Queremos uma parábola geral de grau
, escrevendo-a como , onde são as incógnitas a determinar.
Passo 2
Escolhemos interpretar “mais próxima” no sentido da distância quadrática (norma
) sobre
. Isso significa minimizar a quantidade
A ideia padrão para esse problema é projetar
no subespaço dos polinômios de grau
usando o produto interno
A projeção ortogonal produz um
tal que o erro
é ortogonal a todo polinômio de grau
. Em particular, basta exigir ortogonalidade em relação às funções base
:
Vou usar isso porque é um método direto, algébrico e que dá o mínimo da norma quadrática.
Passo 3
Escrevo explicitamente
. As três equações de ortogonalidade são então
Antes de calcular, uso uma observação útil: sobre
integrais de funções ímpares dão
. Funções ímpares:
,
,
, etc. Isso vai simplificar bastante os cálculos.
Passo 4
Calculo a primeira equação. Expandindo e integrando termo a termo:
Somando e igualando a zero:
Dividindo por
fica mais simples:
Assim obtemos a relação entre
e
:
Passo 5
Calculo a segunda equação (multiplicando por
antes de integrar). Os termos são:
Somando e igualando a zero:
Isolando
:
Passo 6
Calculo a terceira equação (multiplicando por
antes de integrar). Os termos:
Somando:
Dividindo por
:
Multiplicando por
para eliminar denominadores:
Agora uso a relação obtida no Passo 4,
, e substituo:
Desenvolvendo:
Agrupando os termos em
:
Logo
Substituindo em
dá
Passo 7
Reunindo os coeficientes que encontramos:
Portanto a parábola de grau
que melhor aproxima
em
no sentido da norma quadrática é, de fato, uma reta (caso especial de parábola com
):
Você pode conferir rapidamente que o erro
é ortogonal a
(as integrais dão zero), o que confirma que é a projeção correta. Força aí — você já tem a técnica para outras aproximacões parecidas!