1. Determine equação da parábola mais próxima ao gráfico y=1-x^{3} no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=1-x^{3}\, definida no intervalo \,[-1,1]\, e pede a equação da parábola mais próxima ao gráfico de f nesse intervalo.
Informações relevantes que temos:
  • A função a aproximar é \,f(x)=1-x^{3}\,.
  • O intervalo considerado é \,[-1,1]\,.
  • Queremos uma parábola geral de grau \le 2, escrevendo-a como \,p(x)=Ax^{2}+Bx+C, onde A,B,C são as incógnitas a determinar.

Passo 2

Escolhemos interpretar “mais próxima” no sentido da distância quadrática (norma L^{2}) sobre [-1,1]. Isso significa minimizar a quantidade
\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}\,dx.
A ideia padrão para esse problema é projetar f no subespaço dos polinômios de grau \le2 usando o produto interno
\langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1}u(x)v(x)\,dx.
A projeção ortogonal produz um p tal que o erro e(x)=f(x)-p(x) é ortogonal a todo polinômio de grau \le2. Em particular, basta exigir ortogonalidade em relação às funções base \,1,x,x^{2}\,:
\int_{-1}^{1} e(x)\cdot 1\,dx=0,\qquad \int_{-1}^{1} e(x)\cdot x\,dx=0,\qquad \int_{-1}^{1} e(x)\cdot x^{2}\,dx=0.
Vou usar isso porque é um método direto, algébrico e que dá o mínimo da norma quadrática.

Passo 3

Escrevo explicitamente e(x)=f(x)-p(x)=1-x^{3}-(Ax^{2}+Bx+C). As três equações de ortogonalidade são então
\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{3}-Ax^{2}-Bx-C\bigr)\,dx=0,
\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{3}-Ax^{2}-Bx-C\bigr)x\,dx=0,
\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{3}-Ax^{2}-Bx-C\bigr)x^{2}\,dx=0.
Antes de calcular, uso uma observação útil: sobre [-1,1] integrais de funções ímpares dão 0. Funções ímpares: x, x^{3}, x^{5}, etc. Isso vai simplificar bastante os cálculos.

Passo 4

Calculo a primeira equação. Expandindo e integrando termo a termo:
\int_{-1}^{1}1\,dx=2,
\int_{-1}^{1}-x^{3}\,dx=0\quad(\text{pois }x^{3}\text{ é ímpar}),éí
\int_{-1}^{1}-Ax^{2}\,dx=-A\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=-A\cdot\frac{2}{3},
\int_{-1}^{1}-Bx\,dx=0\quad(\text{pois }x\text{ é ímpar}),éí
\int_{-1}^{1}-C\,dx=-2C.
Somando e igualando a zero:
2 - \frac{2}{3}A - 2C = 0.
Dividindo por 2 fica mais simples:
1 - \frac{1}{3}A - C = 0.
Assim obtemos a relação entre A e C:
C = 1 - \frac{1}{3}A.

Passo 5

Calculo a segunda equação (multiplicando por x antes de integrar). Os termos são:
\int_{-1}^{1}x\,dx=0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1}-x^{4}\,dx=-\frac{2}{5},
\int_{-1}^{1}-A x^{3}\,dx=0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1}-B x^{2}\,dx=-B\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=-B\cdot\frac{2}{3},
\int_{-1}^{1}-C x\,dx=0\quad(\text{ímpar}).í
Somando e igualando a zero:
-\frac{2}{5} - \frac{2}{3}B = 0.
Isolando B:
\frac{2}{3}B = -\frac{2}{5}\quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2} = -\frac{3}{5}.

Passo 6

Calculo a terceira equação (multiplicando por x^{2} antes de integrar). Os termos:
\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{2}{3},
\int_{-1}^{1}-x^{5}\,dx=0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1}-A x^{4}\,dx=-A\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=-A\cdot\frac{2}{5},
\int_{-1}^{1}-B x^{3}\,dx=0\quad(\text{ímpar}),í
\int_{-1}^{1}-C x^{2}\,dx=-C\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=-C\cdot\frac{2}{3}.
Somando:
\frac{2}{3} - \frac{2}{5}A - \frac{2}{3}C = 0.
Dividindo por 2:
\frac{1}{3} - \frac{1}{5}A - \frac{1}{3}C = 0.
Multiplicando por 15 para eliminar denominadores:
5 - 3A - 5C = 0\quad\Longrightarrow\quad 3A + 5C = 5.
Agora uso a relação obtida no Passo 4, C = 1 - \frac{1}{3}A, e substituo:
3A + 5\Bigl(1 - \frac{1}{3}A\Bigr) = 5.
Desenvolvendo:
3A + 5 - \frac{5}{3}A = 5.
Agrupando os termos em A:
\Bigl(3 - \frac{5}{3}\Bigr)A + 5 = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{3}A = 0.
Logo
A=0.
Substituindo em C = 1 - \frac{1}{3}A
C = 1.

Passo 7

Reunindo os coeficientes que encontramos:
A=0,\qquad B=-\frac{3}{5},\qquad C=1.
Portanto a parábola de grau \le2 que melhor aproxima f(x)=1-x^{3} em [-1,1] no sentido da norma quadrática é, de fato, uma reta (caso especial de parábola com A=0):
p(x)= -\frac{3}{5}\,x + 1.
Você pode conferir rapidamente que o erro e(x)=1-x^{3}-p(x) é ortogonal a 1,x,x^{2} (as integrais dão zero), o que confirma que é a projeção correta. Força aí — você já tem a técnica para outras aproximacões parecidas!

Resposta

y=-\dfrac{3}{5}x+1

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