Resolver o sistema
c x+2 y-2 z+3 w=2 2 x+4 y-3 z+4 w=5 5 x+10 y-8 z+11 w=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O problema envolve um sistema linear com três equações e quatro incógnitas: x, y, z e w. Para resolver, vamos usar técnicas de álgebra linear, como a eliminação de variáveis, para simplificar as equações e encontrar as relações entre as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema:
x + 2y - 2z + 3w = 2 2x + 4y - 3z + 4w = 5 5x + 10y - 8z + 11w = 12
Nosso objetivo é eliminar uma variável das equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando x.

Passo 3

Para eliminar x, vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda equação:
Multiplicando a primeira equação por 2:
2x + 4y - 4z + 6w = 4
Subtraindo essa da segunda equação:
(2x + 4y - 3z + 4w) - (2x + 4y - 4z + 6w) = 5 - 4
Simplificando:
0x + 0y + z - 2w = 1
Ou seja:
z - 2w = 1 (Equação 4) çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar x novamente, mas dessa vez usando a primeira e a terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 5 e subtraímos da terceira equação:
Multiplicando a primeira equação por 5:
5x + 10y - 10z + 15w = 10
Subtraindo essa da terceira equação:
(5x + 10y - 8z + 11w) - (5x + 10y - 10z + 15w) = 12 - 10
Simplificando:
0x + 0y + 2z - 4w = 2
Ou seja:
2z - 4w = 2 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora temos duas equações com [z) e :
çãçã
Observamos que a Equação 5 é simplesmente a Equação 4 multiplicada por 2:
Isso significa que as duas equações são equivalentes, então não trazem nenhuma nova informação. Portanto, temos uma relação entre :

Passo 6

Agora que sabemos que z = 2w + 1, vamos voltar para a primeira equação original e substituir z:
x + 2y - 2(2w + 1) + 3w = 2
Simplificando:
x + 2y - 4w - 2 + 3w = 2
x + 2y - w - 2 = 2
x + 2y - w = 4 (Equação 6) çã

Passo 7

Temos agora duas equações simplificadas:
x + 2y - w = 4 (Equação 6) z = 2w + 1 (Equação 4) çãçã
Como temos mais incógnitas do que equações, vamos expressar uma das variáveis em termos de outra. Vamos escolher y como variável livre.
Da Equação 6, podemos isolar x:
x = 4 - 2y + w

Passo 8

Agora, juntando todas as relações que encontramos:
x = 4 - 2y + w z = 2w + 1 w = w (variável livre) y = y (variável livre) áá
Isso significa que y e w podem assumir qualquer valor real, e as outras variáveis serão determinadas por esses valores.

Resposta

A solução do sistema é um conjunto infinito de soluções paramétricas, onde [y) e são variáveis livres. As demais variáveis são dadas por:
Ou seja, para qualquer valor de , podemos encontrar e usando as equações acima.

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