(a) Prove, por argumentos combinatórios, que:
sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando argumentos combinatórios, que:
Aqui, estamos lidando com binômios e combinações. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton e entender como os termos se expandem combinatoriamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Binômio de Newton. Ele diz que:
Onde
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher
elementos de um conjunto de
elementos.
No nosso caso, temos
e
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então
. Portanto, a expressão fica:
Isso significa que estamos somando todos os termos da forma
para
variando de 0 a
.
Passo 4
Vamos escrever essa soma de forma expandida:
Sabemos que
e
, então o primeiro termo é 1. Os demais termos seguem a forma apresentada no enunciado.
Passo 5
Portanto, juntando tudo, obtemos:
Isso confirma a expressão que queríamos provar usando argumentos combinatórios.
Resposta
Pronto! Demonstramos que:
usando o Teorema do Binômio de Newton e combinando os coeficientes binomiais.