(a) Prove, por argumentos combinatórios, que:
(1+x^m)^n=1+binomn1 x^m+binomn2(x^m)^2+cdots+(x^m)^n
sendo m, n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando argumentos combinatórios, que:
(1+x^m)^n=1+binomn1 x^m+binomn2(x^m)^2+cdots+(x^m)^n
Aqui, estamos lidando com binômios e combinações. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton e entender como os termos se expandem combinatoriamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Binômio de Newton. Ele diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Onde (1 + x^m)^n = sumk=0^n binomnk 1^n-k (x^m)^k é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto de elementos.
No nosso caso, temos e . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então (1 + x^m)^n = sumk=0^n binomnk (x^m)^k . Portanto, a expressão fica:
Isso significa que estamos somando todos os termos da forma para variando de 0 a .

Passo 4

Vamos escrever essa soma de forma expandida:
(1 + x^m)^n = binomn0(x^m)^0 + binomn1(x^m)^1 + binomn2(x^m)^2 + cdots + binomnn(x^m)^n
Sabemos que e , então o primeiro termo é 1. Os demais termos seguem a forma apresentada no enunciado.

Passo 5

Portanto, juntando tudo, obtemos:
(1 + x^m)^n = 1 + binomn1 x^m + binomn2 (x^m)^2 + cdots + (x^m)^n
Isso confirma a expressão que queríamos provar usando argumentos combinatórios.

Resposta

Pronto! Demonstramos que:
(1+x^m)^n=1+binomn1 x^m+binomn2(x^m)^2+cdots+(x^m)^n
usando o Teorema do Binômio de Newton e combinando os coeficientes binomiais.

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