Prove que (A+\vec{v})-\vec{v}=A.

Passo 1

Estamos trabalhando com a tradução de um conjunto A no espaço vetorial por um vetor \vec{v}. Por definição,
A + \vec{v} = \{\,a + \vec{v} \mid a \in A\}
e
B - \vec{v} = \{\,b - \vec{v} \mid b \in B\}.
Para provar que (A+\vec{v}) - \vec{v} = A, vamos mostrar as duas inclusões entre conjuntos.

Passo 2

Provar \,(A+\vec{v}) - \vec{v}\subseteq A.
Seja x\in (A+\vec{v}) - \vec{v}.
Então existe a\in A tal que
x = \bigl(a + \vec{v}\bigr) - \vec{v}.
Pela associatividade da soma vetorial e pela existência do inverso -\vec{v}, temos
x = a + \bigl(\vec{v} - \vec{v}\bigr) = a + \vec{0} = a.
Como a\in A, segue x\in A. Logo (A+\vec{v}) - \vec{v}\subseteq A.

Passo 3

Provar \,A \subseteq (A+\vec{v}) - \vec{v}.
Seja a\in A. Então, tomando b = a + \vec{v}, temos b\in A+\vec{v} e
b - \vec{v} = (a + \vec{v}) - \vec{v} = a.
Isso mostra que a\in (A+\vec{v}) - \vec{v}. Portanto A \subseteq (A+\vec{v}) - \vec{v}.

Resposta

(A+\vec{v}) - \vec{v} = A.

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