Questão 1: Resolva os itens abaixo:
Seja A uma matrriz que possua - 2 e 3 como autovalores e sendo os autovetores associados a - 2 da forma ( x, 0,-x ) e os autovetores associados a 3 são da forma ( 0, y, 0 ) e ( z, 0, z ). Encontre a expressão de A. A é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a expressão da matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) sabendo que seus autovalores são -2 e 3, com os seguintes autovetores:
– Para \lambda=-2, os vetores da forma (x,0,-x).
– Para \lambda=3, os vetores da forma (0,y,0) e (z,0,z).
Vamos usar a decomposição espectral, escrevendo
A = (-2)\,P_{-2} \;+\; 3\,P_{3},
onde P_{-2} e P_{3} são as projeções ortogonais nos respectivos espaços próprios.
Passo 2
Escolhemos vetores geradores: \displaystyle v_{1}=(1,0,-1) para \lambda=-2, \displaystyle v_{2}=(0,1,0) e v_{3}=(1,0,1) para \lambda=3.
Como v_{1}^{T}v_{1}=1^{2}+0+(-1)^{2}=2, a projeção em \mathrm{span}\{v_{1}\} é
Como encontramos três autovetores v_{1},v_{2},v_{3} linearmente independentes, a multiplicidade algébrica coincide com a geométrica e, portanto, A é diagonalizável.