Questão 1: Resolva os itens abaixo:
Seja A uma matrriz que possua - 2 e 3 como autovalores e sendo os autovetores associados a - 2 da forma ( x, 0,-x ) e os autovetores associados a 3 são da forma ( 0, y, 0 ) e ( z, 0, z ). Encontre a expressão de A. A é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a expressão da matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) sabendo que seus autovalores são -2 e 3, com os seguintes autovetores:
– Para \lambda=-2, os vetores da forma (x,0,-x).
– Para \lambda=3, os vetores da forma (0,y,0) e (z,0,z).
Vamos usar a decomposição espectral, escrevendo
A = (-2)\,P_{-2} \;+\; 3\,P_{3},
onde P_{-2} e P_{3} são as projeções ortogonais nos respectivos espaços próprios.

Passo 2

Escolhemos vetores geradores: \displaystyle v_{1}=(1,0,-1) para \lambda=-2, \displaystyle v_{2}=(0,1,0) e v_{3}=(1,0,1) para \lambda=3.
Como v_{1}^{T}v_{1}=1^{2}+0+(-1)^{2}=2, a projeção em \mathrm{span}\{v_{1}\} é
P_{-2} \;=\;\frac{v_{1}\,v_{1}^{T}}{v_{1}^{T}v_{1}} \;=\;\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}(1\;0\;-1) \;=\;\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]-1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
E P_{3}=I - P_{-2}.]

Passo 3

Pela decomposição espectral,
A = -2\,P_{-2} \;+\;3\,(I - P_{-2}) = 3\,I \;-\;5\,P_{-2}.

Passo 4

Substituindo P_{-2} em A=3I-5P_{-2}, obtemos
A =3\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix} -5\cdot\frac12 \begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\\ 0 & 0 & 0\\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac52\\[4pt]0&3&0\\[4pt]\tfrac52&0&\tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como encontramos três autovetores v_{1},v_{2},v_{3} linearmente independentes, a multiplicidade algébrica coincide com a geométrica e, portanto, A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é
A = \begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & \tfrac52\\\\ 0 & 3 & 0\\\ \tfrac52 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix},
e A é diagonalizável.

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