Questão 1: Resolva os itens abaixo:
Seja F o conjunto de vetores (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} tais que x=z e y=t. Verifique que F é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}, exiba uma base para F e em seguida complete esta base à uma base de \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle F = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x=z \text{ e } y=t\}.
Precisamos mostrar que F é subespaço de \mathbb{R}^4, encontrar uma base de F e depois completar essa base a uma base de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Para verificar que F é subespaço, conferimos três coisas:
  1. O vetor zero (0,0,0,0) satisfaz 0=0 e 0=0, logo pertence a F.
  2. Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in F e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in F, então x_1=z_1, y_1=t_1, x_2=z_2, y_2=t_2. Logo
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2)
satisfaz (x_1+x_2)=(z_1+z_2) e (y_1+y_2)=(t_1+t_2), isto é, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in F.
3. Para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda\mathbf{u}=(\lambda x_1,\;\lambda y_1,\;\lambda z_1,\;\lambda t_1)
satisfaz \lambda x_1 = \lambda z_1 e \lambda y_1=\lambda t_1, logo \lambda\mathbf{u}\in F.
Portanto F é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Um vetor em F tem necessariamente a forma
(x,y,z,t)=(a,b,a,b)
para certos a,b\in\mathbb{R}. Logo
(a,b,a,b) = a\,(1,0,1,0)\;+\;b\,(0,1,0,1).
Os vetores (1,0,1,0) e (0,1,0,1) são claramente linearmente independentes, pois \alpha(1,0,1,0)+\beta(0,1,0,1)=(0,0,0,0) implica \alpha=0 e \beta=0.
Assim uma base de F é
\{\, (1,0,1,0),\;(0,1,0,1)\}.

Passo 4

Para completar ao espaço todo \mathbb{R}^4, basta adicionar dois vetores que não estejam no span de \{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}. Por exemplo, os vetores padrão (0,0,1,0) e (0,0,0,1) não satisfazem x=z e y=t ao mesmo tempo, logo não estão em F e são independentes dos dois primeiros. Verifica‐se facilmente que o conjunto
\{\, (1,0,1,0),\;(0,1,0,1),\;(0,0,1,0),\;(0,0,0,1)\}
é linearmente independente e gera \mathbb{R}^4.

Resposta

Uma base de F é
\{\, (1,0,1,0),\;(0,1,0,1)\}.
Uma extensão dessa base para \mathbb{R}^4 é
\{\, (1,0,1,0),\;(0,1,0,1),\;(0,0,1,0),\;(0,0,0,1)\}.

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