Questão 1: Resolva os itens abaixo:
Seja
o conjunto de vetores
tais que
e
. Verifique que
é um subespaço vetorial de
, exiba uma base para
e em seguida complete esta base à uma base de
.
Seja
Passo 1
O enunciado define
.
Precisamos mostrar que é subespaço de
, encontrar uma base de
e depois completar essa base a uma base de
.
Precisamos mostrar que
Passo 2
Para verificar que
é subespaço, conferimos três coisas:
- O vetor zero
satisfaz e , logo pertence a . - Se
e , então , , , . Logo
satisfaz
e
, isto é,
.
3. Para ,
3. Para
satisfaz
e
, logo
.
Portanto é subespaço de
.
Portanto
Passo 3
Um vetor em
tem necessariamente a forma
para certos
. Logo
Os vetores
e
são claramente linearmente independentes, pois
implica
e
.
Assim uma base de é
Assim uma base de
Passo 4
Para completar ao espaço todo
, basta adicionar dois vetores que não estejam no span de
. Por exemplo, os vetores padrão
e
não satisfazem
e
ao mesmo tempo, logo não estão em
e são independentes dos dois primeiros. Verifica‐se facilmente que o conjunto
é linearmente independente e gera
.
Resposta
Uma base de
é
Uma extensão dessa base para
é