Prove que:
se B=A+\overrightarrow{D C} então B=C+\overrightarrow{D A}.

Passo 1

O enunciado dá uma igualdade envolvendo pontos e vetores e pede para mostrar outra igualdade equivalente. Especificamente:
  • Dado que B = A + \overrightarrow{D C}.
  • Mostrar que B = C + \overrightarrow{D A}.
Essas expressões usam a ideia de “somar um ponto com um vetor” para obter outro ponto. A seguir vamos traduzir isso em notação de vetores posição e trabalhar passo a passo.

Passo 2

Definições e convenções que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Escolha um ponto fixo O como origem e associe a cada ponto X o seu vetor posição \vec{X}, que é o vetor que vai de O até X.
  • Para quaisquer pontos P e Q, o vetor que vai de P até Q é dado por
\overrightarrow{P Q}=\vec{Q}-\vec{P}.
Isto significa que, por exemplo,
\overrightarrow{D C}=\vec{C}-\vec{D} \qquad\text{e}\qquad \overrightarrow{D A}=\vec{A}-\vec{D}.
  • A soma de um ponto X com um vetor \vec{v} corresponde, em termos de vetores posição, a somar o vetor posição \vec{X} com \vec{v}. Ou seja, a igualdade Y=X+\vec{v} traduz-se como \vec{Y}=\vec{X}+\vec{v}.

Passo 3

Traduzir a hipótese para a notação de vetores posição usando as definições acima.
A hipótese B = A + \overrightarrow{D C} passa a ser
\vec{B}=\vec{A}+\overrightarrow{D C}.
Substituindo \overrightarrow{D C}=\vec{C}-\vec{D} obtemos
\vec{B}=\vec{A}+(\vec{C}-\vec{D}).

Passo 4

Reorganizar a expressão usando propriedades básicas da soma de vetores (comutatividade e associatividade):
\vec{B}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{D}.
Como a soma de vetores é comutativa, podemos agrupar os termos como
\vec{B}=\vec{C}+(\vec{A}-\vec{D}).

Passo 5

Reconhecer que \vec{A}-\vec{D} é exatamente o vetor \overrightarrow{D A}, pela definição \overrightarrow{D A}=\vec{A}-\vec{D}. Assim, a igualdade do passo anterior escreve-se
\vec{B}=\vec{C}+\overrightarrow{D A}.
Convertendo novamente para a notação “ponto mais vetor” (onde \vec{B} corresponde ao ponto B, etc.), obtemos a igualdade desejada. Portanto a afirmação está provada.

Resposta

B=C+\overrightarrow{D A}

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