Prove que se B é base para V e B=B1 sqcup B2 então

Passo 1

O enunciado afirma que temos um espaço vetorial V com uma base B, que foi particionada em dois subconjuntos disjuntos B1 e B2. O conteúdo aqui é soma direta de subespaços, e vamos precisar usar as definições de span(cdot), soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Primeiro, mostramos que cada vetor vin V pode ser escrito como soma de um vetor em span(B1) e um vetor em span(B2). Como B é base de V, existe uma única combinação linear
v=sumbinBalphab,b
Agora, separamos essa soma em termos de B1 e B2:
$$v=\sum_{b\in\mathfrak{B}_1}\alpha_b,b ;+
\sum_{b\in\mathfrak{B}_2}\alpha_b,b.
$$

Passo 3

Note que x=sumbinB1alphab,b pertence a span(B1) e y=sumbinB2alphab,b pertence a span(B2). Assim, v=x+y, o que mostra que
$$V=\operatorname{span}(\mathfrak{B}_1)+\operatorname{span}(\mathfrak{B}_2).
$$

Passo 4

Em seguida, provamos que
$$\operatorname{span}(\mathfrak{B}_1)\cap\operatorname{span}(\mathfrak{B}_2)={0}.
$$

Passo 5

Seja v em span(B1)capspan(B2). Então existem escalares (alphab)binB1 e (betab)binB2 tais que
$$v=\sum_{b\in\mathfrak{B}1}\alpha_b,b = \sum{b\in\mathfrak{B}_2}\beta_b,b.
$$

Passo 6

Reagrupando tudo, obtemos uma combinação linear nula em B=B1sqcupB2:
$$0=\sum_{b\in\mathfrak{B}1}\alpha_b,b - \sum{b\in\mathfrak{B}_2}\beta_b,b.
$$

Passo 7

Como B é linearmente independente, todos os coeficientes alphab e betab devem ser zero, implicando v=0. Portanto, a interseção é trivial.

Passo 8

Como temos soma total e interseção nula, concluímos que
V=span(B1)oplusspan(B2)

Resposta

V=\operatorname{span}(\mathfrak{B}_1)\oplus\operatorname{span}(\mathfrak{B}_2)

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