Prove que se
é base para
e
então
Passo 1
O enunciado afirma que temos um espaço vetorial V com uma base
, que foi particionada em dois subconjuntos disjuntos
e
. O conteúdo aqui é soma direta de subespaços, e vamos precisar usar as definições de
, soma de subespaços e soma direta (interseção trivial).
Passo 2
Primeiro, mostramos que cada vetor
pode ser escrito como soma de um vetor em
e um vetor em
. Como
é base de
, existe uma única combinação linear
Agora, separamos essa soma em termos de
$$v=\sum_{b\in\mathfrak{B}_1}\alpha_b,b ;+
\sum_{b\in\mathfrak{B}_2}\alpha_b,b.
$$
Passo 3
Note que
pertence a
e
pertence a
. Assim,
, o que mostra que
$$V=\operatorname{span}(\mathfrak{B}_1)+\operatorname{span}(\mathfrak{B}_2).
$$
Passo 4
Em seguida, provamos que
$$\operatorname{span}(\mathfrak{B}_1)\cap\operatorname{span}(\mathfrak{B}_2)={0}.
$$
Passo 5
Seja
em
. Então existem escalares
e
tais que
$$v=\sum_{b\in\mathfrak{B}1}\alpha_b,b = \sum{b\in\mathfrak{B}_2}\beta_b,b.
$$
Passo 6
Reagrupando tudo, obtemos uma combinação linear nula em
:
$$0=\sum_{b\in\mathfrak{B}1}\alpha_b,b - \sum{b\in\mathfrak{B}_2}\beta_b,b.
$$
Passo 7
Como
é linearmente independente, todos os coeficientes
e
devem ser zero, implicando
. Portanto, a interseção é trivial.
Passo 8
Como temos soma total e interseção nula, concluímos que
Resposta
V=\operatorname{span}(\mathfrak{B}_1)\oplus\operatorname{span}(\mathfrak{B}_2)