Resolver as seguintes equações e inequações:
x^2-3 x+2x^2-3 x >= 0

Passo 1

A gente precisa resolver a inequação racional x^2-3x+2x^2-3x>=0. O conteúdo aqui é estudo de sinal de função racional, e vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar zeros e assíntotas (valores que anulam o denominador) e depois montar o quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador usando fórmulas de produtos notáveis e fator comum. Observamos que
x^2-3x+2=(x-1)(x-2),
x^2-3x=x(x-3)

Passo 3

Agora identificamos os pontos críticos, que são as raízes do numerador e do denominador. Eles são:
  • Numerador zero em x=1 e x=2 (a expressão vale zero).
  • Denominador zero em x=0 e x=3 (expressão indefinida).
    Esses valores particionam o eixo real em cinco intervalos:
    .

Passo 4

Fazendo o estudo de sinal em cada intervalo, analisamos o sinal de cada fator x-1, x-2, x e x-3 e multiplicamos:
  • Em Rightarrow todos os quatro fatores são negativos (0,1) quociente positivo.
  • Em Rightarrow dois fatores negativos e dois positivos (1,2) quociente negativo.
  • Em Rightarrow três fatores positivos e um negativo (2,3) quociente positivo.
  • Em Rightarrow três fatores positivos e um negativo (3,infty) quociente negativo.
  • Em Rightarrow todos os fatores são positivos quociente positivo.

Passo 5

Como queremos >=0, aceitamos os intervalos onde o quociente é positivo e também os pontos onde ele é zero (raízes do numerador), mas excluímos onde o denominador anula. Concluímos que a solução é:
.

Resposta

(-infty,0) cup [1,2] cup (3,infty)

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