Prove que a soma
é soma direta se e somente se a união das bases de
produz uma base para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados subespaços L₁, L₂, …, Lₙ de um espaço vetorial V e bases ℬ₁, ℬ₂, …, ℬₙ de cada Lᵢ, a soma L = L₁ + L₂ + … + Lₙ é direta (ou seja, L₁ ⊕ L₂ ⊕ … ⊕ Lₙ) se e somente se a união das bases ℬ₁ ∪ ℬ₂ ∪ … ∪ ℬₙ for uma base de L. Vamos usar teoria de soma direta de subespaços, definição de base, independência e geração.
Passo 2
Primeiro, assuma que L₁ + L₂ + … + Lₙ é uma soma direta. Queremos ver que ℬ = ℬ₁ ∪ … ∪ ℬₙ é base de L. Para isso, mostramos duas coisas: geração e independência.
- Geração: todo vetor x ∈ L pode ser escrito como x = x₁ + x₂ + … + xₙ com xᵢ ∈ Lᵢ. Como ℬᵢ gera Lᵢ, cada xᵢ é combinação linear dos vetores de ℬᵢ. Então x é combinação linear de vetores de ℬ; logo ℬ gera L.
Passo 3
A seguir, ainda assumindo soma direta, mostramos que ℬ é linearmente independente. Seja uma combinação linear geral
Agrupando os termos de cada Lᵢ, definimos xᵢ = ∑_{b∈ℬᵢ} a_{b} b ∈ Lᵢ. Assim ∑ xᵢ = 0. Mas na soma direta a única forma disso acontecer é x₁ = x₂ = … = xₙ = 0. Como cada ℬᵢ é base de Lᵢ, isso força todos os coeficientes a_{b} = 0. Logo ℬ é independentemente linear.
Passo 4
Agora, suponha que ℬ = ℬ₁ ∪ … ∪ ℬₙ seja base de L. A definição de base já garante que toda escritura de um vetor em ℬ é única. Tome x₁ ∈ L₁, x₂ ∈ L₂, …, xₙ ∈ Lₙ tais que x₁ + … + xₙ = 0. Cada xᵢ pode ser escrito em termos de vetores de ℬᵢ, então temos uma combinação linear de vetores em ℬ = 0. Pela independência de ℬ, todos os coeficientes são zero, em particular cada xᵢ = 0. Isso é exatamente o que garante que a soma seja direta.
Passo 5
Assim mostramos que L₁ + … + Lₙ é direta se e somente se ℬ₁ ∪ … ∪ ℬₙ é base de L.