Prove que, se a, b, c e d são racionais, p é primo positivo e a+b raizp=c+d raizp, então a=c e b=d

Passo 1

O enunciado diz que temos a,b,c,dinQ e p primo tal que
a + braizp ;=; c + draizp
Queremos provar que a=c e b=d. O ponto-chave é usar que raizp é irracional (pois p não é quadrado perfeito). Breve prova: suponha que
raizp = rs, gcd(r,s)=1
Então ps^2 = r^2. Como p divide r^2, divide r, escrevemos r = p k e obtemos s^2 = p k^2, logo p divide s, contradizendo gcd(r,s)=1. Portanto raizpnotinQ.

Passo 2

Subtraindo c + draizp de ambos os lados da igualdade original, obtemos a combinação linear
(a - c) ;+;(b - d),raizp ;=; 0

Passo 3

Se bneq d, então
(b-d),raizp = -(a-c) Longrightarrow raizp = -a-c,b-d,,
o que seria racional, contradizendo a irracionalidade de raizp. Logo deve ocorrer b - d = 0, ou seja,
b = d

Passo 4

Com b=d, a equação do Passo 2 fica
(a - c) + 0cdotraizp = 0 Longrightarrow a - c = 0,
isto é,
a = c

Resposta

a=c e b=d.

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