Prove que, se a, b, c e d são racionais, p é primo positivo e
, então
e
Passo 1
O enunciado diz que temos
e
primo tal que
Queremos provar que
e
. O ponto-chave é usar que
é irracional (pois
não é quadrado perfeito). Breve prova: suponha que
Então
. Como
divide
, divide
, escrevemos
e obtemos
, logo
divide
, contradizendo
. Portanto
.
Passo 2
Subtraindo
de ambos os lados da igualdade original, obtemos a combinação linear
Passo 3
Se
, então
o que seria racional, contradizendo a irracionalidade de
. Logo deve ocorrer
, ou seja,
Passo 4
Com
, a equação do Passo 2 fica
isto é,