Prove que, se a, b, c e d são racionais, p é primo positivo e , então e

Passo 1

O enunciado diz que temos e primo tal que
Queremos provar que e . O ponto-chave é usar que é irracional (pois não é quadrado perfeito). Breve prova: suponha que
Então . Como divide , divide , escrevemos e obtemos , logo divide , contradizendo . Portanto .

Passo 2

Subtraindo de ambos os lados da igualdade original, obtemos a combinação linear

Passo 3

Se , então
o que seria racional, contradizendo a irracionalidade de . Logo deve ocorrer , ou seja,

Passo 4

Com , a equação do Passo 2 fica
isto é,

Resposta

e .

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