Prove que:
a-b+a^2-b^2+a^3-b^3+ldots=a-b(1-a)(1-b), com |a|<1 e |b|<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para |a|<1 e |b|<1, vale
a - b + a^2 - b^2 + a^3 - b^3 + cdots ;=;a - b(1 - a)(1 - b)
O conteúdo principal é soma de séries geométricas infinitas.

Passo 2

Observe que
a - b + a^2 - b^2 + a^3 - b^3 + cdots =sumn=1^inftya^n-sumn=1^inftyb^n
Como |a|<1 e |b|<1, cada série geométrica converge e
sumn=1^inftya^n=a1-a, sumn=1^inftyb^n=b1-b

Passo 3

Logo a soma original é
a1-a-b1-b =a(1-b)-b(1-a)(1-a)(1-b)
No numerador temos
a(1-b)-b(1-a)=a - ab - b + ab = a - b,
então
a1-a-b1-b =a - b(1-a)(1-b)

Resposta

a - b + a^2 - b^2 + a^3 - b^3 + cdots =a - b(1 - a)(1 - b)

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