Prove que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto $ C $ não está vazio. O conjunto $ C $ é definido como todos os números que podem ser escritos na forma
onde cada $ a_j $ é 0 ou 2. Basicamente, estamos lidando com uma série infinita onde os coeficientes são 0 ou 2 e o denominador é potências de 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série infinita convergir e como construir pelo menos um número que pertença a $ C $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é uma série infinita. Uma série como essa
é uma soma que vai até o infinito. Para que essa soma faça sentido e dê um número real, ela precisa convergir, ou seja, deve se aproximar de um valor específico à medida que somamos mais e mais termos.
Como cada $ a_j $ pode ser 0 ou 2, vamos ver o que acontece com alguns exemplos simples.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um número que pertença a $ C $. Um jeito fácil de fazer isso é escolher uma sequência de $ a_j $s e ver qual número ela gera.
Exemplo 1: Se todos os $ a_j = 0 $, então
Então, $ 0 $ está em $ C $.
Exemplo 2: Se todos os $ a_j = 2 $, então
Essa série é uma progressão geométrica com razão $ \frac{1}{3} $, e sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é
desde que $ |r| < 1 $. Aplicando aqui, temos
Então, $ 1 $ também está em $ C $.
Passo 4
Com esses exemplos, já vimos que pelo menos dois números, 0 e 1, pertencem a $ C $. Isso já é suficiente para afirmar que o conjunto $ C $ não está vazio, já que contém pelo menos esses dois elementos.
Resposta
Portanto, $ C $ não está vazio.