Prove que para cada função f dada, o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe.
f(x, y)=\frac{x^{9} y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{9}y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}
e pede para provar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
não existe.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de f(x,y) e o ponto de interesse (0,0). A tarefa é uma prova de inexistência do limite; ou seja, mostrar que não há um único valor que f(x,y) se aproxima quando (x,y) vai para (0,0).

Passo 2

Ideia chave que vamos usar (explicada de forma didática): se o limite de uma função de duas variáveis em um ponto existe, então ao seguir qualquer caminho que chegue naquele ponto a função deve tender ao mesmo número. Logo, uma maneira simples e poderosa de mostrar que o limite não existe é encontrar duas (ou mais) curvas que chegam a (0,0) e pelas quais os limites de f são diferentes. Vou aplicar esse método passo a passo; não é preciso saber teoria avançada, só entender que um limite deve ser único independente do caminho.

Passo 3

Escolha de caminhos: vou tentar caminhos do tipo
y=m x^{3},
onde m é um número real fixo (pense em m como um parâmetro que escolhemos). Explico por que isso é razoável: tanto x^{6} quanto y^{2} têm potência total em x parecida se y for proporcional a x^{3}, então isso costuma cancelar fatores de x e produzir um valor limite dependente de m (se ocorrer, nos dá diferentes valores para diferentes m).

Passo 4

Substituo y=m x^{3} em f. Primeiro noto que y^{2}=m^{2}x^{6}. Então
x^{6}+y^{2}=x^{6}+m^{2}x^{6}=x^{6}(1+m^{2}).
Agora coloco isso na expressão de f:
f(x,m x^{3})=\frac{x^{9}\cdot (m x^{3})}{\bigl(x^{6}+ (m x^{3})^{2}\bigr)^{2}}.
Continuando a simplificação passo a passo (cada fator explícito):
f(x,m x^{3})=\frac{m x^{12}}{\bigl(x^{6}(1+m^{2})\bigr)^{2}}.
Como \bigl(x^{6}(1+m^{2})\bigr)^{2}=x^{12}(1+m^{2})^{2}, obtemos
f(x,m x^{3})=\frac{m x^{12}}{x^{12}(1+m^{2})^{2}}.
Agora cancelamos x^{12} (válido para x\neq 0; em limites isso é padrão):
f(x,m x^{3})=\frac{m}{(1+m^{2})^{2}} \qquad\text{para }x\neq 0.

Passo 5

Análise do limite ao longo desse caminho: como a expressão \dfrac{m}{(1+m^{2})^{2}} é constante em relação a x, quando x\to 0 temos
\lim_{x\to 0} f(x,m x^{3})=\frac{m}{(1+m^{2})^{2}}.
Também é claro que o ponto (x,m x^{3}) tende para (0,0) quando x\to 0. Portanto, o limite de f ao longo da curva y=m x^{3} existe e é igual a \dfrac{m}{(1+m^{2})^{2}}.

Passo 6

Mostro que esse valor depende de m, o que é o ponto crucial. Tomemos dois valores de m diferentes, por exemplo m=0 e m=1:
\text{para }m=0:\qquad \frac{m}{(1+m^{2})^{2}}=\frac{0}{(1+0)^{2}}=0,
\text{para }m=1:\qquad \frac{m}{(1+m^{2})^{2}}=\frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{4}.
Como 0\neq \tfrac{1}{4}, os limites de f ao longo das curvas y=0 e y=x^{3} são distintos.

Passo 7

Conclusão lógica: se o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse, então ao aproximar (0,0) por qualquer caminho o valor de f deveria tender ao mesmo número. Mas encontramos dois caminhos que levam a dois limites diferentes ( 0 e \tfrac{1}{4}). Portanto o limite geral não pode existir. (Relaxa: encontrar dois caminhos com limites distintos é prova suficiente.)

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}} não existe.

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