Prove que para cada função
dada, o
não existe.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para provar que o limite
não existe.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de e o ponto de interesse
. A tarefa é uma prova de inexistência do limite; ou seja, mostrar que não há um único valor que
se aproxima quando
vai para
.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de
Passo 2
Ideia chave que vamos usar (explicada de forma didática): se o limite de uma função de duas variáveis em um ponto existe, então ao seguir qualquer caminho que chegue naquele ponto a função deve tender ao mesmo número. Logo, uma maneira simples e poderosa de mostrar que o limite não existe é encontrar duas (ou mais) curvas que chegam a
e pelas quais os limites de
são diferentes. Vou aplicar esse método passo a passo; não é preciso saber teoria avançada, só entender que um limite deve ser único independente do caminho.
Passo 3
Escolha de caminhos: vou tentar caminhos do tipo
onde
é um número real fixo (pense em
como um parâmetro que escolhemos). Explico por que isso é razoável: tanto
quanto
têm potência total em
parecida se
for proporcional a
, então isso costuma cancelar fatores de
e produzir um valor limite dependente de
(se ocorrer, nos dá diferentes valores para diferentes
).
Passo 4
Substituo
em
. Primeiro noto que
. Então
Agora coloco isso na expressão de
:
Continuando a simplificação passo a passo (cada fator explícito):
Como
, obtemos
Agora cancelamos
(válido para
; em limites isso é padrão):
Passo 5
Análise do limite ao longo desse caminho: como a expressão
é constante em relação a
, quando
temos
Também é claro que o ponto
tende para
quando
. Portanto, o limite de
ao longo da curva
existe e é igual a
.
Passo 6
Mostro que esse valor depende de
, o que é o ponto crucial. Tomemos dois valores de
diferentes, por exemplo
e
:
Como
, os limites de
ao longo das curvas
e
são distintos.
Passo 7
Conclusão lógica: se o limite
existisse, então ao aproximar
por qualquer caminho o valor de
deveria tender ao mesmo número. Mas encontramos dois caminhos que levam a dois limites diferentes (
e
). Portanto o limite geral não pode existir. (Relaxa: encontrar dois caminhos com limites distintos é prova suficiente.)