Prove que para cada função
dada, o
não existe.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para provar que
não existe. Informações relevantes fornecidas:
- A função está dada por
. - O ponto onde investigamos o limite é
. - Observe que em
a expressão do denominador vale , então não está definida em ; estamos apenas verificando o comportamento de quando se aproxima de .
Passo 2
Estratégia para mostrar que o limite não existe (explicação didática):
- Definição intuitiva: dizemos que
se, ao nos aproximarmos de por qualquer caminho, os valores de se aproximam do mesmo número . - Método prático e típico para provar que o limite não existe: encontrar duas (ou mais) curvas/caminhos que chegam em
pelas quais os limites de sejam diferentes. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, então não há um único que sirva para todos os caminhos, logo o limite total não existe. - Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples que tornem a conta direta e mostrem diferenças de valor.
Passo 3
Escolher uma família de caminhos do tipo
com
constante real e
. Primeiro justificativa:
- Se
e , então (porque ), logo . Portanto cada curva é um caminho válido para aproximar a origem. - Para
o denominador é diferente de zero (pois ), então está bem definida ao longo dessa curva (exceto possivelmente em , que é o ponto limite).
Passo 4
Calcular
ao longo do caminho
. Substituindo:
Fatorando
no denominador (válido para
):
para todo
. Note: o valor encontrado é independente de
(é uma constante, depende só de
).
Passo 5
Tirar conclusões dos valores obtidos ao longo de caminhos específicos:
- Para
(ou seja o caminho , o eixo ), obtemos
portanto ao longo desse caminho o limite quando
é
.
- Para
(o caminho ), usando a fórmula da etapa anterior,
portanto ao longo desse caminho o limite quando
é
.
Passo 6
Conclusão lógica:
- Encontramos dois caminhos que chegam a
pelos quais os valores de tendem a limites diferentes: por o limite é e por o limite é . - Pelo argumento do Passo 2, se dois caminhos dão limites distintos, não pode existir um único limite
. - Observação extra (opcional, para reforçar): pela expressão
vemos que, variando , obtemos vários valores possíveis como limites ao longo de curvas . Isso mostra que o comportamento da função ao se aproximar da origem depende fortemente do caminho.
Resposta
O limite
não existe.