Prove que para cada função f dada, o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe.
f(x, y)=\frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}
e pede para provar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Informações relevantes fornecidas:
  • A função está dada por \;f(x,y)=\dfrac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}\;.
  • O ponto onde investigamos o limite é (0,0).
  • Observe que em (0,0) a expressão do denominador vale 0, então f não está definida em (0,0); estamos apenas verificando o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Estratégia para mostrar que o limite não existe (explicação didática):
  • Definição intuitiva: dizemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
  • Método prático e típico para provar que o limite não existe: encontrar duas (ou mais) curvas/caminhos que chegam em (0,0) pelas quais os limites de f(x,y) sejam diferentes. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, então não há um único L que sirva para todos os caminhos, logo o limite total não existe.
  • Vou aplicar esse método: escolher caminhos simples que tornem a conta direta e mostrem diferenças de valor.

Passo 3

Escolher uma família de caminhos do tipo \;x=c\,y^{4}\; com c constante real e y\to0. Primeiro justificativa:
  • Se y\to0 e x=c\,y^{4}, então x\to 0 (porque y^{4}\to0), logo (x,y)\to(0,0). Portanto cada curva x=c\,y^{4} é um caminho válido para aproximar a origem.
  • Para y\neq0 o denominador x^{2}+y^{8}=(c^{2}y^{8}+y^{8})=(c^{2}+1)y^{8} é diferente de zero (pois c^{2}+1>0), então f está bem definida ao longo dessa curva (exceto possivelmente em y=0, que é o ponto limite).

Passo 4

Calcular f ao longo do caminho x=c\,y^{4}. Substituindo:
f(c\,y^{4},y) = \frac{(c\,y^{4})\,y^{4}}{(c\,y^{4})^{2}+y^{8}} = \frac{c\,y^{8}}{c^{2}y^{8}+y^{8}}.
Fatorando y^{8} no denominador (válido para y\neq0):
f(c\,y^{4},y) = \frac{c\,y^{8}}{(c^{2}+1)\,y^{8}} = \frac{c}{c^{2}+1},
para todo y\neq0. Note: o valor encontrado é independente de y (é uma constante, depende só de c).

Passo 5

Tirar conclusões dos valores obtidos ao longo de caminhos específicos:
  • Para c=0 (ou seja o caminho x=0, o eixo y), obtemos
f(0,y)=\frac{0}{0+y^{8}}=0,
portanto ao longo desse caminho o limite quando y\to0 é 0.
  • Para c=1 (o caminho x=y^{4}), usando a fórmula da etapa anterior,
f(y^{4},y)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2},
portanto ao longo desse caminho o limite quando y\to0 é \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão lógica:
  • Encontramos dois caminhos que chegam a (0,0) pelos quais os valores de f(x,y) tendem a limites diferentes: por x=0 o limite é 0 e por x=y^{4} o limite é \tfrac{1}{2}.
  • Pelo argumento do Passo 2, se dois caminhos dão limites distintos, não pode existir um único limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
  • Observação extra (opcional, para reforçar): pela expressão \dfrac{c}{c^{2}+1} vemos que, variando c, obtemos vários valores possíveis como limites ao longo de curvas x=c\,y^{4}. Isso mostra que o comportamento da função ao se aproximar da origem depende fortemente do caminho.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}} não existe.

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