Sejam
e
, pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos
cuja distância à reta que passa por
e
é igual à distância de
ao ponto
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação que representa todos os pontos
no plano cartesiano que têm a mesma distância da reta que passa pelos pontos
e
, e da distância do próprio ponto
até o ponto
. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e a distância de um ponto até uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos
e
. Sabemos que a equação geral de uma reta pode ser escrita na forma
. Para encontrar essa equação, usamos a fórmula da inclinação:
A inclinação
da reta AB é dada por:
Então, a equação da reta AB com inclinação -1 e passando por
é:
Rearranjando para a forma geral:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até a reta AB. A fórmula para a distância de um ponto
até uma reta
é:
Aplicando isso à reta
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a distância do ponto
até o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Então, a distância de
até
é:
Passo 5
Segundo o enunciado, a distância de
até a reta AB é igual à distância de
até o ponto
. Então, podemos igualar as duas expressões:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Expandindo os termos:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Simplificando os termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar os termos de
e
positivos:
Resposta
A equação do lugar geométrico dos pontos
é: