Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
Escolha uma opção:
x^2+y^2-2 x y-2 a x-2 a y-3 a^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! O enunciado pede para encontrarmos a equação que representa todos os pontos P(x, y) no plano cartesiano que têm a mesma distância da reta que passa pelos pontos A(a, 0) e B(0, a) , e da distância do próprio ponto P até o ponto C(a, a) . Para isso, vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e a distância de um ponto até uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos A(a, 0) e B(0, a) . Sabemos que a equação geral de uma reta pode ser escrita na forma Ax + By + C = 0 . Para encontrar essa equação, usamos a fórmula da inclinação:
A inclinação m da reta AB é dada por:
m = a - 00 - a = -1
Então, a equação da reta AB com inclinação -1 e passando por A(a, 0) é:
y - 0 = -1(x - a) implies y = -x + a
Rearranjando para a forma geral:
x + y - a = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto P(x, y) até a reta AB. A fórmula para a distância de um ponto (x, y) até uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2
Aplicando isso à reta x + y - a = 0 :
dreta = |x + y - a|raiz1^2 + 1^2 = |x + y - a|raiz2

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a distância do ponto P(x, y) até o ponto C(a, a) . A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Então, a distância de P até C(a, a) é:
dC = raiz(x - a)^2 + (y - a)^2

Passo 5

Segundo o enunciado, a distância de P até a reta AB é igual à distância de P até o ponto C . Então, podemos igualar as duas expressões:
|x + y - a|raiz2 = raiz(x - a)^2 + (y - a)^2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x + y - araiz2)^2 = (x - a)^2 + (y - a)^2
(x + y - a)^22 = (x - a)^2 + (y - a)^2

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
(x + y - a)^2 = 2[(x - a)^2 + (y - a)^2]
Expandindo os termos:
x^2 + 2xy + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 2y^2 - 4ay + 2a^2

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
x^2 + 2xy + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 - 2x^2 + 4ax - 2a^2 - 2y^2 + 4ay - 2a^2 = 0
Simplificando os termos semelhantes:
-x^2 + 2xy - y^2 + 2ax + 2ay - 3a^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar os termos de x^2 e y^2 positivos:
x^2 - 2xy + y^2 - 2ax - 2ay + 3a^2 = 0

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) é:
x^2 + y^2 - 2xy - 2a x - 2a y - 3a^2 = 0

Exercícios relacionados