Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Temos os pontos A=(a,0), B=(0,a) e C=(a,a), com aneq0. O problema pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à reta AB seja igual à distância de P ao ponto C. Vamos usar fórmulas de distância ponto–reta e ponto–ponto.

Passo 2

A reta que passa por A e B tem equação obtida por dois pontos:
A=(a,0), B=(0,a)Longrightarrow x+y-a=0

Passo 3

A distância de P=(x,y) à reta x+y-a=0 é
dreta=l|x+y-ar|raiz1^2+1^2 =|x+y-a|raiz2

Passo 4

A distância de P=(x,y) ao ponto C=(a,a) é
dponto=raiz(x-a)^2+(y-a)^2

Passo 5

Igualando as distâncias e elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto e a raiz, temos
(x+y-a)^22 ;=;(x-a)^2+(y-a)^2
Multiplicando ambos os lados por 2,
(x+y-a)^2 = 2l[(x-a)^2+(y-a)^2r]

Passo 6

Desenvolvendo cada lado:
LHS=(x+y-a)^2 = x^2 + y^2 + a^2 + 2xy -2a x -2a y,
RHS=2l[x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2r] =2x^2+2y^2-4a(x+y)+4a^2
Fazendo LHS-RHS=0 e reorganizando:
-x^2 -y^2 +2xy +2a(x+y)-3a^2 =0 Longrightarrow x^2 + y^2 -2xy -2a(x+y)+3a^2 =0

Passo 7

Observando que x^2 -2xy +y^2=(x-y)^2, chegamos à forma final do lugar geométrico:
boxed(x-y)^2 -2a,(x+y) +3a^2 =0

Resposta

(x-y)^2 -2a(x+y) +3a^2 =0

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