Prove que o centro de massa de um disco plano de raio R e massa m está localizado no eixo que passa pelo centro do disco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o centro de massa de um disco plano de raio $ R $ e massa $ m $ está localizado no eixo que passa pelo centro do disco. Vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e simetria para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada para facilitar os cálculos de movimentos. Para objetos simétricos, como o disco, a simetria pode nos ajudar a encontrar o centro de massa.

Passo 3

No caso de um disco plano, ele é simétrico em relação a qualquer eixo que passe pelo seu centro. Isso significa que, para cada pequena parte da massa em uma direção, há uma parte igual na direção oposta. Por causa dessa simetria, as componentes do centro de massa nas direções perpendiculares ao eixo central se cancelam.

Passo 4

Matematicamente, podemos calcular o centro de massa usando as integrais. Mas como o disco é uniforme, sua densidade é constante. Portanto, as coordenadas do centro de massa ($ \bar{x}, \bar{y} $) podem ser encontradas integrando sobre toda a área do disco.

Passo 5

Devido à simetria circular do disco, sabemos que:
barx = 0
bary = 0
Isso porque, para todo ponto $ (x, y) $, existe um ponto $ (-x, -y) $ que cancela qualquer deslocamento no centro de massa.

Passo 6

Como as coordenadas do centro de massa são $ (0, 0) $, isso significa que o centro de massa coincide com o centro geométrico do disco. Portanto, o centro de massa está localizado no eixo que passa pelo centro do disco.

Resposta

O centro de massa do disco plano está localizado no eixo que passa pelo centro do disco.

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