Prove que o conjunto 1,2,3,4 é finito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto A = {1, 2, 3, 4} é finito. O conteúdo envolvido aqui é a definição de conjunto finito, que diz que um conjunto é finito se existe bijeção entre ele e o conjunto {1, 2, …, n} para algum n natural.

Passo 2

Segundo a definição, A será finito se eu conseguir construir uma função f de A em {1, 2, 3, 4} que seja bijetora. Como A já é exatamente {1, 2, 3, 4}, faz sentido usar a própria identidade.

Passo 3

Defino então a função f: A → {1, 2, 3, 4} dada por f(x) = x para todo x em A. Vamos verificar que f é bijetora: (i) Injetividade: se f(x₁)=f(x₂) então x₁=x₂ por definição de identidade. (ii) Sobrejetividade: para cada y em {1,2,3,4} existe x=y em A tal que f(x)=y. Portanto f é bijeção.

Passo 4

Como encontramos uma bijeção entre A e {1,2,3,4}, concluímos, pela definição, que A é finito.

Resposta

O conjunto {1, 2, 3, 4} é finito porque existe a bijeção f: {1,2,3,4} → {1,2,3,4} definida por f(x)=x, satisfazendo injetividade e sobrejetividade.

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