Sejam
. Prove que toda CL de
e
é paralela a
e
.
Passo 1
O enunciado afirma que dois vetores
e
são paralelos (colineares) e pede para mostrar que qualquer combinação linear desses vetores também é paralela a eles. Vamos usar o fato fundamental de que, se
e
são paralelos e
, então existe um escalar
tal que
.
Passo 2
Caso degenerate: se
, então pela paralelismo
e qualquer combinação linear
é o vetor nulo, que por definição é paralelo a qualquer vetor. Logo o resultado vale trivialmente.
Passo 3
Agora suponha
e use a definição de paralelismo. Como
, existe
tal que
Passo 4
Considere uma combinação linear arbitrária
Substituindo
, obtemos
Isto mostra que
é múltiplo escalar de
, portanto
. Como
, segue também
.
Resposta
Qualquer combinação linear de
e
é paralela a ambos, pois pode ser escrita como múltiplo escalar de
(e de
).