Sejam u | v. Prove que toda CL de u e v é paralela a u e v.

Passo 1

O enunciado afirma que dois vetores u e v são paralelos (colineares) e pede para mostrar que qualquer combinação linear desses vetores também é paralela a eles. Vamos usar o fato fundamental de que, se u e v são paralelos e uneq0, então existe um escalar alpha tal que v=alpha,u.

Passo 2

Caso degenerate: se u=0, então pela paralelismo v=0 e qualquer combinação linear
lambda,u+mu,v
é o vetor nulo, que por definição é paralelo a qualquer vetor. Logo o resultado vale trivialmente.

Passo 3

Agora suponha uneq0 e use a definição de paralelismo. Como uparal<=lv, existe alphainR tal que
v=alpha,u

Passo 4

Considere uma combinação linear arbitrária
w=lambda,u+mu,v
Substituindo v=alpha,u, obtemos
w=lambda,u + mul(alpha,ur) =l(lambda + mu,alphar),u
Isto mostra que w é múltiplo escalar de u, portanto wparal<=lu. Como uparal<=lv, segue também wparal<=lv.

Resposta

Qualquer combinação linear de u e v é paralela a ambos, pois pode ser escrita como múltiplo escalar de u (e de v).

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