Sejam u=(2, alpha,-3), v=(-alpha, 1,2). Determine alpha in R tal que estes dois vetores sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,alpha,-3) e v=(-alpha,1,2) em R^3 e pede para achar alpha de modo que eles sejam ortogonais. Vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Relembrando a definição de produto escalar em R^3:
ucdotv=u1v1 + u2v2 + u3v3
Aqui, u1=2, u2=alpha, u3=-3 e v1=-alpha, v2=1, v3=2.

Passo 3

Substituindo na expressão do produto escalar e igualando a zero para garantir ortogonalidade, temos
ucdotv =2cdot(-alpha)+alphacdot1+(-3)cdot2 =-2alpha+alpha-6 stackrel!=0
Logo,
-2alpha+alpha-6=0 Longrightarrow -alpha=6 Longrightarrow alpha=-6

Resposta

alpha=-6

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