Sejam
e
bases ordenadas para
. Sejam
e w
.
Siga as orientações de a) a f) do Exercício 15.
Encontre a matriz de mudança
da base
para a base
.
Siga as orientações de a) a f) do Exercício 15.
Encontre a matriz de mudança
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases ordenadas de
:
e
.
Queremos encontrar a matriz de mudança de base
tal que, para todo polinômio
,
Queremos encontrar a matriz de mudança de base
Para isso, vamos expressar cada vetor de
como combinação linear dos vetores de
.
Passo 2
Em geral, se
e
, então
isto é, a
j -ésima coluna de
PTS são as coordenadas de
sj na base
T .
Vamos, então, para cadasjin S escrever
Vamos, então, para cada
e resolver para
(aj,bj,cj) .
Passo 3
Para
s1 = t^2-1 escrevemos
Igualando coeficientes:
Daí
b=-tfrac13 , então
2a-tfrac13=1Rightarrow a=tfrac23 e
c=-a=-tfrac23 .
Logo
Logo
Passo 4
Para
s2 = t-2 escrevemos
Igualando coeficientes:
Daí
b=-tfrac23 , então
2a-tfrac23=0Rightarrow a=tfrac13 e
c=1-a=tfrac23 .
Logo
Logo
Passo 5
Para
s3 = t+3 escrevemos
Igualando coeficientes:
Daí
b=1 , então
2a+1=0Rightarrow a=-tfrac12 e
c=1-a=tfrac32 .
Logo
Logo
Passo 6
Agora agrupamos as coordenadas
[s1]T ,
[s2]T e
[s3]T como colunas em
PTS .