Sejam S=t^2-1, t-2, t+3 e T=2 t^2+t, t^2+3, t bases ordenadas para P2. Sejam v=8 t^2-4 t+6 e w =7 t^2-t+9.
Siga as orientações de a) a f) do Exercício 15.
Encontre a matriz de mudança PT S da base S para a base T.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases ordenadas de P2:
;S=,t^2-1,;t-2,;t+3 e
;T=,2t^2+t,;t^2+3,;t.
Queremos encontrar a matriz de mudança de base
;PTS tal que, para todo polinômio p,
[p]T ;=; PTS,[p]S
Para isso, vamos expressar cada vetor de S como combinação linear dos vetores de T.

Passo 2

Em geral, se S=s1,s2,s3 e T=t1,t2,t3, então
PTS=l([s1]T;|;[s2]T;|;[s3]Tr),
isto é, a j-ésima coluna de PTS são as coordenadas de sj na base T.
Vamos, então, para cada sjin S escrever
sj = aj,(2t^2+t);+;bj,(t^2+3);+;cj,t
e resolver para (aj,bj,cj).

Passo 3

Para s1 = t^2-1 escrevemos
t^2-1 ;=; a,(2t^2+t) + b,(t^2+3) + c,t ;Longrightarrow; (2a+b),t^2 + (a+c),t + 3b
Igualando coeficientes:
2a + b = 1, a + c = 0, 3b = -1
Daí b=-tfrac13, então 2a-tfrac13=1Rightarrow a=tfrac23 e c=-a=-tfrac23.
Logo
[s1]T = tfrac23[4pt]-tfrac13[4pt]-tfrac23 ]

Passo 4

Para s2 = t-2 escrevemos
t-2 ;=; a,(2t^2+t) + b,(t^2+3) + c,t ;Longrightarrow; (2a+b),t^2 + (a+c),t + 3b
Igualando coeficientes:
2a + b = 0, a + c = 1, 3b = -2
Daí b=-tfrac23, então 2a-tfrac23=0Rightarrow a=tfrac13 e c=1-a=tfrac23.
Logo
[s2]T = tfrac13[4pt]-tfrac23[4pt]tfrac23 ]

Passo 5

Para s3 = t+3 escrevemos
t+3 ;=; a,(2t^2+t) + b,(t^2+3) + c,t ;Longrightarrow; (2a+b),t^2 + (a+c),t + 3b
Igualando coeficientes:
2a + b = 0, a + c = 1, 3b = 3
Daí b=1, então 2a+1=0Rightarrow a=-tfrac12 e c=1-a=tfrac32.
Logo
[s3]T = -tfrac12[4pt]1[4pt]tfrac32 ]

Passo 6

Agora agrupamos as coordenadas [s1]T, [s2]T e [s3]T como colunas em PTS.

Resposta

PTS ;=; tfrac23 & tfrac13 & -tfrac12 [6pt] -tfrac13 & -tfrac23 & 1 [6pt] -tfrac23 & tfrac23 & tfrac32 ]

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