Sejam S=t^2-1, t-2, t+3 e T=2 t^2+t, t^2+3, t bases ordenadas para P2. Sejam v=8 t^2-4 t+6 e w =7 t^2-t+9.
Siga as orientações de a) a f) do Exercício 15.
Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base S diretamente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de v=8t^2-4t+6 e w=7t^2-t+9 na base ordenada
S = ,t^2-1,;t-2,;t+3
O conteúdo é mudança de base em espaços vetoriais de polinômios de grau <=2.

Passo 2

Qualquer polinômio p(t)=pt^2+qt+r em P2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S:
alpha,(t^2-1)+beta,(t-2)+gamma,(t+3)
Expandindo e agrupando termos de t^2, t e termo constante, obtemos
alpha,t^2 +(beta+gamma),t +l(-alpha-2beta+3gammar)
Para que isso seja igual a pt^2+qt+r, basta resolver o sistema
alpha = p, beta+gamma = q, -alpha-2beta+3gamma = r

Passo 3

No caso de v=8t^2-4t+6, temos (p,q,r)=(8,-4,6). Logo
alpha = 8, beta+gamma = -4, -8 -2beta +3gamma = 6
Da segunda equação beta=-4-gamma. Substituindo na terceira:
-8 -2(-4-gamma)+3gamma = 6 ;Longrightarrow; 8+5gamma = 14 ;Longrightarrow; gamma = tfrac65, beta = -4 - tfrac65 = -tfrac265
Portanto
[v]S = l(alpha,beta,gammar) = l(8,,-tfrac265,,tfrac65r)

Passo 4

No caso de w=7t^2-t+9, temos (p,q,r)=(7,-1,9). Assim
alpha = 7, beta+gamma = -1, -7 -2beta +3gamma = 9
Da segunda equação beta=-1-gamma. Substituindo na terceira:
-7 -2(-1-gamma)+3gamma = 9 ;Longrightarrow; 2+5gamma = 16 ;Longrightarrow; gamma = tfrac145, beta = -1 - tfrac145 = -tfrac195
Logo
[w]S = l(alpha,beta,gammar) = l(7,,-tfrac195,,tfrac145r)

Resposta

[v]S = l(8,;-tfrac265,;tfrac65r), [w]S = l(7,;-tfrac195,;tfrac145r)

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