(a) Prove que F(x, y)=(y, x+2 y) é conservativo e determine uma função f tal que F=nabla f;

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),Q(x,y)r) = l(y,;x+2yr)
e pede para mostrar que é conservativo (isto é, existe f tal que nabla f=F) e encontrar uma potencial f. O conteúdo envolvido é a teoria de campos conservativos em R^2, que diz que num domínio aberto e simplesmente conectado basta verificar
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y(y) = 1, partial Qpartial x = partialpartial x(x+2y) = 1
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x e o domínio é R^2 (simplesmente conectado), concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial f, usemos
fx = P = y
Integramos em relação a x:
f(x,y) = integral y,dx = xy + h(y),
onde h é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
fy = Q = x+2y
Por outro lado,
fy = partialpartial yl(xy + h(y)r) = x + h'(y)
Logo
x + h'(y) = x + 2y Longrightarrow h'(y)=2y Longrightarrow h(y)=y^2 + C
Portanto uma escolha de potencial é
f(x,y) = xy + y^2 + C

Resposta

Uma função potencial é
f(x,y) = xy + y^2 + C,
pois satisfaz nabla f=(y,,x+2y)=F(x,y).

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