(a) Prove que
é conservativo e determine uma função
tal que
;
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para mostrar que é conservativo (isto é, existe
tal que
) e encontrar uma potencial
. O conteúdo envolvido é a teoria de campos conservativos em
, que diz que num domínio aberto e simplesmente conectado basta verificar
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
e o domínio é
(simplesmente conectado), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
, usemos
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
Por outro lado,
Logo
Portanto uma escolha de potencial é
Resposta
Uma função potencial é
pois satisfaz
.