O seguinte exercício mostra que não importa em qual ordem somamos um número infinito de termos positivos. Isso é útil para mostrar rigorosamente os axiomas de medida para a medida de contagem em qualquer
. Observe que, se houver termos negativos, a ordem é importante.
Dado I um conjunto infinito e seja
uma função de I para
. A soma de
sobre I é definida como
Mostre que
a) para toda partição
de I em subconjuntos disjuntos não-vazios
Dado I um conjunto infinito e seja
a) para toda partição
Passo 1
O exercício considera um conjunto infinito
e uma função
. Definimos a soma sobre
como
Queremos mostrar que, dados subconjuntos disjuntos não-vazios
Passo 2
Para provar
observe que, para qualquer subconjunto finito
onde
é finito e consiste dos
tais que
. Então
$$\sum_{i\in H}f(i)=\sum_{k\in K’}\sum_{i\in H\cap I_k}f(i)\le\sum_{k\in K’}\sum_{i\in I_k}f(i)\le\sum_{k\in K}\sum_{i\in I_k}f(i).
$$
Tomando supremum sobre todos os finitos em
obtemos a desigualdade desejada.
Tomando supremum sobre todos os
Passo 3
Agora provamos
Para isso, seja
para um
arbitrário. Defina
que é finito em
Tomando supremum sobre todos os
finitos segue que
Como isso vale para todo
Passo 4
Juntando as duas desigualdades mostramos que
o que completa a prova.