O seguinte exercício mostra que não importa em qual ordem somamos um número infinito de termos positivos. Isso é útil para mostrar rigorosamente os axiomas de medida para a medida de contagem em qualquer Omega. Observe que, se houver termos negativos, a ordem é importante.
Dado I um conjunto infinito e seja f uma função de I para [0, infty]. A soma de f sobre I é definida como
sumi in I f(i):=sup sumi in H f(i): H subset I, H é finito é
Mostre que
a) para toda partição I=cupk in K Ik de I em subconjuntos disjuntos não-vazios Ik

Passo 1

O exercício considera um conjunto infinito I e uma função f: I to [0,infty]. Definimos a soma sobre I como
sumiin If(i):=supsumiin Hf(i):Hsubset I,,H finito
Queremos mostrar que, dados subconjuntos disjuntos não-vazios (Ik)kin K que partem I (ou seja, I=cupkin KIk e Ikcap Ik'=emptyset para kneq k'), vale
sumiin If(i)=sumkin Ksumiin Ikf(i)

Passo 2

Para provar
sumiin If(i)<=sumkin Ksumiin Ikf(i),
observe que, para qualquer subconjunto finito Hsubset I, temos
H=sqcupkin K'(Hcap Ik),
onde K'subset K é finito e consiste dos k tais que Hcap Ikneqemptyset. Então
$$\sum_{i\in H}f(i)=\sum_{k\in K’}\sum_{i\in H\cap I_k}f(i)\le\sum_{k\in K’}\sum_{i\in I_k}f(i)\le\sum_{k\in K}\sum_{i\in I_k}f(i).
$$
Tomando supremum sobre todos os sumiin Hf(i)=sumkin K'sumiin Hcap Ikf(i)<=sumkin K'sumiin Ikf(i)<=sumkin Ksumiin Ikf(i) finitos em H obtemos a desigualdade desejada.

Passo 3

Agora provamos
sumiin If(i)>=sumkin Ksumiin Ikf(i)
Para isso, seja K'subset K finito. Como cada Ik é não-vazio, podemos escolher para cada kin K' um subconjunto finito Hksubset Ik tal que
sumiin Hkf(i)>sumiin Ikf(i)-varepsilon|K'|,
para um varepsilon>0 arbitrário. Defina
H=sqcupkin K'Hk,
que é finito em I. Então
sumiin Hf(i)=sumkin K'sumiin Hkf(i)>sumkin K'sumiin Ikf(i)-varepsilon
Tomando supremum sobre todos os H finitos segue que
sumiin If(i)>=sumkin K'sumiin Ikf(i)-varepsilon
Como isso vale para todo varepsilon>0 e todo K'subset K finito, ao passar ao supremum sobre K' obtemos a desigualdade.

Passo 4

Juntando as duas desigualdades mostramos que
sumiin If(i)=sumkin Ksumiin Ikf(i),
o que completa a prova.

Resposta

sumiin If(i)=sumkin Ksumiin Ikf(i).

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