Prove, por contradição: se a soma de dois primos é um número primo, então um dos primos deve ser 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, se a soma de dois números primos é um número primo, então um desses primos tem que ser o número 2. Vamos usar a prova por contradição para resolver isso. Para isso, assumiremos que a afirmação oposta é verdadeira e mostraremos que isso leva a uma contradição.

Passo 2

Vamos supor que temos dois números primos, e , tal que também é primo. A contradição virá da suposição de que nenhum dos primos e é igual a 2. Ou seja, e .

Passo 3

Sabemos que, além do 2, todos os números primos são ímpares. Então, se e não são iguais a 2, ambos são números ímpares.

Passo 4

Vamos lembrar uma propriedade básica da soma de números:
  • Ímpar + Ímpar = Par.
Como e são ímpares, a soma será par.

Passo 5

Agora, sabemos que o único número par que é primo é o número 2. Portanto, se é par e também primo, então deveria ser igual a 2.

Passo 6

Mas se e e são primos maiores que 2 (já que assumimos que nenhum é igual a 2), isso é impossível. Porque o menor primo maior que 2 é 3, e , que não é igual a 2.

Passo 7

Isso cria uma contradição com nossa suposição inicial de que nenhum dos primos é 2. Portanto, nossa suposição está errada.

Passo 8

Concluímos que, para a soma de dois primos ser primo, um desses primos precisa ser o número 2.

Resposta

Portanto, se a soma de dois primos é um número primo, então um dos primos deve ser 2.

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