Prove, por contradição: se a soma de dois primos é um número primo, então um dos primos deve ser 2.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, se a soma de dois números primos é um número primo, então um desses primos tem que ser o número 2. Vamos usar a prova por contradição para resolver isso. Para isso, assumiremos que a afirmação oposta é verdadeira e mostraremos que isso leva a uma contradição.
Passo 2
Vamos supor que temos dois números primos,
e
, tal que
também é primo. A contradição virá da suposição de que nenhum dos primos
e
é igual a 2. Ou seja,
e
.
Passo 3
Sabemos que, além do 2, todos os números primos são ímpares. Então, se
e
não são iguais a 2, ambos são números ímpares.
Passo 4
Vamos lembrar uma propriedade básica da soma de números:
- Ímpar + Ímpar = Par.
Como
e
são ímpares, a soma
será par.
Passo 5
Agora, sabemos que o único número par que é primo é o número 2. Portanto, se
é par e também primo, então
deveria ser igual a 2.
Passo 6
Mas se
e
e
são primos maiores que 2 (já que assumimos que nenhum é igual a 2), isso é impossível. Porque o menor primo maior que 2 é 3, e
, que não é igual a 2.
Passo 7
Isso cria uma contradição com nossa suposição inicial de que nenhum dos primos é 2. Portanto, nossa suposição está errada.
Passo 8
Concluímos que, para a soma de dois primos ser primo, um desses primos precisa ser o número 2.
Resposta
Portanto, se a soma de dois primos é um número primo, então um dos primos deve ser 2.