Se o quadrado de um número racional é um inteiro, então o número racional deve ser também um inteiro.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um número racional cujo quadrado é um número inteiro. Queremos provar que, se o quadrado de um número racional é inteiro, então o próprio número racional também deve ser um inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números racionais e propriedades de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Além disso, essa fração está na sua forma simplificada, ou seja, e não têm divisores comuns além de 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar o quadrado desse número racional:
A questão nos diz que esse quadrado é um número inteiro. Vamos chamar esse inteiro de :

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Isso nos mostra que é múltiplo de .

Passo 5

Como é múltiplo de , isso significa que divide . De acordo com as propriedades dos números inteiros, se divide e e não têm fatores comuns além de 1, então deve ser igual a 1 ou -1.

Passo 6

Se ou , então o número racional é simplesmente ou , que são números inteiros. Portanto, concluímos que o número racional original deve ser um número inteiro.

Resposta

Portanto, se o quadrado de um número racional é um inteiro, então o próprio número racional também é um inteiro.

Exercícios relacionados