Se o quadrado de um número racional é um inteiro, então o número racional deve ser também um inteiro.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um número racional cujo quadrado é um número inteiro. Queremos provar que, se o quadrado de um número racional é inteiro, então o próprio número racional também deve ser um inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números racionais e propriedades de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Além disso, essa fração está na sua forma simplificada, ou seja,
e
não têm divisores comuns além de 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar o quadrado desse número racional:
A questão nos diz que esse quadrado é um número inteiro. Vamos chamar esse inteiro de
:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Isso nos mostra que
é múltiplo de
.
Passo 5
Como
é múltiplo de
, isso significa que
divide
. De acordo com as propriedades dos números inteiros, se
divide
e
e
não têm fatores comuns além de 1, então
deve ser igual a 1 ou -1.
Passo 6
Se
ou
, então o número racional
é simplesmente
ou
, que são números inteiros. Portanto, concluímos que o número racional original deve ser um número inteiro.
Resposta
Portanto, se o quadrado de um número racional é um inteiro, então o próprio número racional também é um inteiro.