Se
e
têm ordem 15 e 16 respectivamente em um grupo
, qual é a ordem de
?
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
temos dois elementos
e
com ordens
e
, respectivamente, e pede a ordem do subgrupo
.
Conteúdo: teoria de subgrupos cíclicos, Lema de Lagrange e divisores de ordens.
Conteúdo: teoria de subgrupos cíclicos, Lema de Lagrange e divisores de ordens.
Passo 2
Note que
é um subgrupo de
e também de
. Logo, pela teoria de grupos, sua ordem deve dividir a ordem de cada um desses subgrupos.
Passo 3
Pelo Lema de Lagrange aplicado aos subgrupos cíclicos, qualquer subgrupo de
tem ordem que divide
, e qualquer subgrupo de
tem ordem que divide
. Portanto
divide simultaneamente
e
.
Passo 4
O maior divisor comum de
e
é
Logo o único número natural que divide ambos é
.
Resposta
A ordem de
é
, ou seja, o subgrupo é trivial.