Se g e h têm ordem 15 e 16 respectivamente em um grupo G, qual é a ordem de lang<= grang<= caplang<= hrang<= ?

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo G temos dois elementos g e h com ordens ,15 e ,16, respectivamente, e pede a ordem do subgrupo lang<= grang<= cap lang<= hrang<=.
Conteúdo: teoria de subgrupos cíclicos, Lema de Lagrange e divisores de ordens.

Passo 2

Note que lang<= grang<= cap lang<= hrang<= é um subgrupo de lang<= grang<= e também de lang<= hrang<=. Logo, pela teoria de grupos, sua ordem deve dividir a ordem de cada um desses subgrupos.

Passo 3

Pelo Lema de Lagrange aplicado aos subgrupos cíclicos, qualquer subgrupo de lang<= grang<= tem ordem que divide ,|lang<= grang<=|=15, e qualquer subgrupo de lang<= hrang<= tem ordem que divide ,|lang<= hrang<=|=16. Portanto
|lang<= grang<= cap lang<= hrang<=|
divide simultaneamente 15 e 16.

Passo 4

O maior divisor comum de 15 e 16 é
gcd(15,16)=1
Logo o único número natural que divide ambos é 1.

Resposta

A ordem de lang<= grang<= cap lang<= hrang<= é 1, ou seja, o subgrupo é trivial.

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