Seja A=(cc0 & 1 -1 & 0) e B=(ll0 & -1 1 & -1) elementos em GL2(R). Mostre que A e B têm ordens finitas mas A B não.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os dois matrizes
A = 0 & 1 -1 & 0, B = 0 & -1 1 & -1
têm ordens finitas em GL2(R), mas que o produto AB tem ordem infinita. Lembremos que a ordem de um elemento M num grupo é o menor inteiro n>0 tal que M^n=I.

Passo 2

Vamos achar a ordem de A. Primeiro note que
A^2 = 0 & 1 -1 & 0^2 = 0cdot0 + 1cdot(-1) & 0cdot1 + 1cdot0 -1cdot0 + 0cdot(-1) & -1cdot1 + 0cdot0 = -1 & 0 0 & -1 = -I
Como (-I)^2 = I, segue
A^4 = l(A^2r)^2 = (-I)^2 = I
Além disso A^2 neq I, logo a ordem de A é 4.

Passo 3

Agora a ordem de B. Calculemos B^2 e B^3:
B^2 = 0 & -1 1 & -1^2 = -1 & 1 -1 & 0,
B^3 = B^2,B = -1 & 1 -1 & 0 0 & -1 1 & -1 = 1 & 0 0 & 1 = I
Como nem B nem B^2 são iguais a I, a ordem de B é 3.

Passo 4

Por fim, vejamos AB:
AB = 0 & 1 -1 & 0 0 & -1 1 & -1 = 1 & -1 0 & 1
Observe que para todo n>=1 vale
(AB)^n = 1 & -1 0 & 1^n = 1 & -n 0 & 1,
e isso nunca é a matriz identidade para n>0. Logo AB não tem potência positiva que dê I, ou seja, tem ordem infinita.

Resposta

ord(A)=4, ord(B)=3, ord(AB)=infty.

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