Seja
um elemento de um grupo. Se
enquanto
, prove que
e
. O que podemos dizer a respeito da ordem de
.
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
temos um elemento
tal que
e
. Precisaremos usar a definição de ordem de um elemento (menor
com
) e a propriedade de divisibilidade dessa ordem dado que
. Vamos primeiro mostrar diretamente que nem
nem
podem ser o elemento neutro, e em seguida tirar conclusão sobre a ordem de
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
. Então
Mas sabemos que
, logo
, contradizendo a hipótese
. Portanto não pode acontecer que
.
Passo 3
Agora suponha, por absurdo, que
. Então
Mas
, de modo que
. Isso também contradiz
. Logo não pode acontecer que
.
Passo 4
Já que
, a ordem
divide
. Os divisores positivos de
são
. Excluímos
porque então
e excluiríamos
porque isso daria
, o que contraria o enunciado. Sobram apenas as possibilidades
Resposta
Não existem soluções para
nem para
. A ordem de
divide
e, por
, fica restrita a