Seja x um elemento de um grupo. Se x^2 neq e enquanto x^6=e, prove que x^4 neq e e x^5 neq e. O que podemos dizer a respeito da ordem de x.

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo G temos um elemento x tal que x^2neq e e x^6=e. Precisaremos usar a definição de ordem de um elemento (menor n>0 com x^n=e) e a propriedade de divisibilidade dessa ordem dado que x^6=e. Vamos primeiro mostrar diretamente que nem x^4 nem x^5 podem ser o elemento neutro, e em seguida tirar conclusão sobre a ordem de x.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que x^4=e. Então
x^6 = x^4,x^2 = ecdot x^2 = x^2
Mas sabemos que x^6=e, logo x^2=e, contradizendo a hipótese x^2neq e. Portanto não pode acontecer que x^4=e.

Passo 3

Agora suponha, por absurdo, que x^5=e. Então
x^6 = x^5,x = ecdot x = x
Mas x^6=e, de modo que x=e. Isso também contradiz x^2neq e. Logo não pode acontecer que x^5=e.

Passo 4

Já que x^6=e, a ordem ord(x) divide 6. Os divisores positivos de 6 são 1,2,3,6. Excluímos 1 porque então x=e e excluiríamos 2 porque isso daria x^2=e, o que contraria o enunciado. Sobram apenas as possibilidades
ord(x)=3 ou ord(x)=6

Resposta

Não existem soluções para x^4=e nem para x^5=e. A ordem de x divide 6 e, por x^2neq e, fica restrita a
ord(x)in3,6

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